Folge

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D@Npower Auf diesen Beitrag antworten »
Folge
Guten Morgen miteinander!

Meine Aufgabe ist es, zu zeigen, dass die Fibonacci-Folge keinen Häufungspunkt hat.

Meine Lösung wäre:

Fibonacci-Folge (x_n) (n Element der natürlichen Zahlen) mit x_1: = 1, x_2: = 1 und x_n: = x_(n-1) + x_(n-2)

Ich versuche durch einen Widerspruchsbeweis zu zeigen, dass die Folge keinen HP hat.

Sei a Element von K HP.

Für alle Epsilon grösser 0 gilt: Es gibt eine unendliche Teilmenge N_(Epsilon) Teilmenge von N_0 mit:

|x_n - a | < Epsilon.

(für alle n Element N_(Epsilon) )

Sei Psi : = max{|x_n - a| : n=0,...a} < 0

|x_n - a | kann nie kleiner sein als 0.
Ist x_n = a, so ist |x_n - a| zwar gleich 0, aber immer noch nicht kleiner.

Kleiner 0 muss der Term aber sein, damit die Folge einen HP hat --> die Fibonacci Folge hat keinen HP.


---

..kann ich diesen Beweis so stehen lassen, oder hat es noch Fehler / Unwahrheiten drin?
Romaxx Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Sei a Element von K HP.


Was ist K?

Zitat:
Sei Psi : = max{|x_n - a| : n=0,...a} < 0


Warum setzt du etwas offensichtlich Falsches voraus? Was willst du damit bezwecken? Es kann sein, das dahinter der richtige Gedanke steckt, aber so wie das hier steht, ist das meiner Meinung nach kein Beweis.

Außerdem, wird oben x_n duch a indiziert, doch das a muss keine natürliche Zahl sein, oder doch? Das weiß ich nicht, da du nicht sagst, was K ist.
D@Npower Auf diesen Beitrag antworten »

Mit K bezeichne ich die reellen Zahlen oder (und) die komplexen Zahlen.

Das heisst, a kann natürlich, reell oder aber auch komplex sein.

Hmm..ich weiss ja, dass wenn eine Folge kein HP hat (hier: a Element der reellen Zahlen) , dass dann ein Epsilon_0 > 0 existiert und ein n_0 Element der natürlichen Zahlen (mit 0) mit |x_n| - a >= Epsilon_0 (für alle n >= n_0)

Man kann dann eine positive Zahl Psi definieren : = min{Epsilon_0, min{|x_n - a| : n <= n_0 , x_n nicht gleich a} } Offensichtlich ist Psi > 0.
Dann enthält ] a, a + Psi / 2 [ keine Zahl Element von (x_n) (n Element der natürlichen Zahlen mit 0) , das heisst keine rationale Zahl.
--> Folge besitzt kein HP.
Romaxx Auf diesen Beitrag antworten »

Du kannst uns beiden helfen, wenn du etwas Latex benutzt.

Deine Argumentation läuft ungefähr so:

Du nimmst an, dass kein Häufungspunkt ist.

Bildest dann das Minimum von aus der Negation der Definition für Häufungspunkte und den endlich vielen übrigen Differenzen für .

Die für sind ja eh größer , also braucht man die nicht betrachten.

Dann gibst du zusätzlich noch die Anweisung, dass die , welche gleich sind, nicht betrachtet werden sollen.

Schließlich wählst du davon die Hälfte und sagst für diesen Wert gibt es nicht unendlich viele , die in dieser Umgebung liegen.

Das stimmt ja auch, aber leider nur unter der Annahme, die du Beweisen sollst.

Ich hätte diese Argumentation auch schon ab der Annahme der Negation durchführen können, da es höchstens endlich viele gibt, für die gilt .

Das ist, als hätte ich mich selber aus dem Sumpf gezogen.

Schau dir die Folge mal genau an, und sage mir intuitiv, warum es keine Häufungspunkte geben kann.
lucretia Auf diesen Beitrag antworten »

Weil der Abstand zwischen den Folgegliedern immer grösser wird. Würde der Abstand kleiner werden würde die Folge ja quasi stagnieren, also einen HP haben. Oder?

Aber wie schreibt man das mathematisch samt Beweis auf!!?
Romaxx Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Weil der Abstand zwischen den Folgegliedern immer grösser wird.


Betrachte einmal den Abstand zweier beliebiger Folgenglieder, die nicht gleich sind.

Ausgenommen der Abstand von und .

Was kannst du über diesen sagen?
 
 
lucretia Auf diesen Beitrag antworten »

nunja... Erstaunt2

...ich weiss nicht worauf du anspielen möchtest / habe keine Ahnung
Romaxx Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von lucretia
nunja... Erstaunt2

...ich weiss nicht worauf du anspielen möchtest / habe keine Ahnung


Wie klein kann dieser höchstens werden?

p.s. siehe oben, ich musste noch etwas editieren.
lucretia Auf diesen Beitrag antworten »

Abstand mus grösser als 0 sein. Bei den ersten zwei Gliedern wäre es grösser gleich 0.
Romaxx Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von lucretia
Abstand mus grösser als 0 sein. Bei den ersten zwei Gliedern wäre es grösser gleich 0.


Das stimmt, ist aber nicht die richtgie Antwort auf meine letzte Frage.

Noch einmal:

Betrachte einmal den Abstand zweier beliebiger Folgenglieder, die nicht gleich sind.

Ausgenommen der Abstand von und .

Wie klein kann dieser höchstens werden?
lucretia Auf diesen Beitrag antworten »

Eins smile
Romaxx Auf diesen Beitrag antworten »

Und gegen was spricht das in der Definition der Häufungspunkte? Schau dir diese einmal genau an.
D@Npower Auf diesen Beitrag antworten »

Da der Abstand nicht kleiner als 1 werden kann (wird), gibt es auch keinen Häufungspunkt, da der Abstand - falls es einen Häufungspunkt geben sollte - immer kleiner werden sollte, also auch kleiner als 1.

Stimmt so, oder?
..aber meine Frage wäre dieselbe wie jene von lucretia: Wie beschreibt man das mathematisch? smile
Romaxx Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von D@Npower
Da der Abstand nicht kleiner als 1 werden kann (wird), gibt es auch keinen Häufungspunkt, da der Abstand - falls es einen Häufungspunkt geben sollte - immer kleiner werden sollte, also auch kleiner als 1.

Stimmt so, oder?
..aber meine Frage wäre dieselbe wie jene von lucretia: Wie beschreibt man das mathematisch? smile


Du meinst vielleicht das richtige, aber das ist nicht korrekt ausgedrückt.

Es gibt keinen Häufungspunkt, da in jeder Umgebung, für jeden möglichen Häufungspunkt, nicht unendlich viele Folgenglieder liegen.

Die Folge ist offensichtlich monoton steigend.

Sei dazu ohne Beschränkung der Allgemeinheit , sowie aus der Betrachtung ausgenommen, dann gilt :



Wähle ich nun aus der Definiton eines möglichen Häufungspunktes , so können wegen der Abschätzung oben, nur höchstens endlich viele Folgenglieder in der Umgebung liegen.

Somit kann es keinen Häufungspunkt geben.
D@Npower Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist richtig gut nachzuvollziehen!

Stimmt..ich habe zwar das gemeint, aber nicht so aufgeschrieben..
Vielen herzlichen Dank!
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