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18.09.2009, 23:34	D@Npower	Auf diesen Beitrag antworten »
Gruppen Kann mir jemand einen Tipp geben, wie folgende Aufgabe gelöst werden kann? [attach]11244[/attach]
18.09.2009, 23:49	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gruppen Naja, Nachweis der Gruppenaxiome. Die Multiplikation der neuen Gruppe besteht ja nun aus der Komponentenweise "Multiplikation" der beiden Gruppen. Das kann und sollte man dann ausnutzen.
20.09.2009, 00:35	D@Npower	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gruppen Also - zuerst einmal: die Gruppenaxiome sind ja: - Assoziativität - neutrales Element - inverses Element (und optional für abelsch: die Kommutativität) Für alle Gruppenelemente (a, b, c, d) gilt: (ab) (cd) = (abc) d = a * (bcd) = (ac) (bd) --> das heisst: assoziativ Zudem gibts ein a Element G, so dass a e = e * a = a ist. --> neutrales Element Und zu guterletzt gibt es auch ein inverses Element a^-1 Element G mit a * a^-1 = a^-1 * a = e Offensichtlich ist die neue Gruppe auch abelsch, da sie kommutativ ist. ..ehm..ehrlichgesagt bin ich nicht sicher, ob die Aufgabe so gelöst ist, darum bin ich für die Hilfe sehr dankbar!
20.09.2009, 00:39	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gruppen Nein, so ist die Aufgabe nicht gelöst. Wir haben doch $\begin{eqnarray} (a,b) (c,d) := (a \cdot c,b \bullet d) \end{eqnarray}$ Nun sei $\begin{eqnarray} e_G \end{eqnarray}$ das neutrale Element von G und $\begin{eqnarray} e_H \end{eqnarray}$ das neutrale Element von H. Dann folgt, wegen der Gruppeneigenschaften: $\begin{eqnarray} (a,b) * (e_G,e_H) := (a \cdot e_G,b \bullet e_H) = (a,b) \end{eqnarray}$ Wir haben wohl das neutrale Element bzgl. gefunden. Kannst du dir nun denken, wie der Nachweis zu führen ist?
20.09.2009, 01:01	D@Npower	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gruppen Achsoo..deine Umformungen sind super nachvollziehbar - danke! Den Nachweis würde ich wie folgt führen: a * e_G = e_G * a = a sowie: b * e_H = e_H * b = b
20.09.2009, 10:37	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gruppen Aber ganz verstanden hast du sie noch nicht. Mit meiner Zeile ist wegen der Gruppeneigenschaft schon gezeigt, dass $\begin{eqnarray} (e_G,e_H) \end{eqnarray}$ das neutrale Element ist. Man könnte ja noch ergänzen $\begin{eqnarray} (a,b) (e_G,e_H) := (a \cdot e_G,b \bullet e_H) = (a,b) =(e_G\cdot a, e_H \bullet b) = (e_G,e_H) * (a,b) \end{eqnarray*}$ Ich meinte, du sollst nun die Nachweise der anderen Eigenschaften führen.
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20.09.2009, 12:49	D@Npower	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gruppen - Assoziativität: $\begin{eqnarray} (a,b) ( c, d) := (a(cbd)) = ((adc)b) \end{eqnarray}$ hmm..das ist zwar mehr eine Behauptung, als ein Beweis, doch gewissermassen ist die "Behauptung" auch trivial.. - zudem gibt es zu jedem Gruppenelement ein inverses Element: a a^-1 = a^-1 * a = e b * b^-1 = b^-1 * b = e c * c^-1 = c^-1 * c = e d * d^-1 = d^-1 * d = e (wäre die neue Gruppe nicht sogar abelsch, da sie kommutativ ist? : $\begin{eqnarray} (a,b) ( c, d) := (ac, bd) = (ad, bc) \end{eqnarray*}$ )
20.09.2009, 13:12	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gruppen Bitte nimm doch die richten "Malzeichen". Assoziativität ist falsch. da kommt ein Elemen ( , ) raus. links steht wieder nur das Produkt zweier Element. Da müssten aber 3 stehen.
20.09.2009, 13:48	D@Npower	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gruppen Also meinst du das etwa so: $\begin{eqnarray} (a,b) \cdot (c,d) \cdot (e,f) = (ace, bdf) \end{eqnarray}$ PS: Entschuldigung wegen den "Malzeichen"
20.09.2009, 13:57	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gruppen Herrjemine... . Wo sind denn nun die Klammern für das AG geblieben... Und so hab ich das mit den Zeichen nicht gemeint... Da sind doch mit Absicht 3 verschiedene angegeben. $\begin{eqnarray} (a,b) \left( (c,d) * (e,f)\right) = (a,b) * (c \cdot e,d \bullet f) = ... = \left((a,b) * (c,d)\right) * (e,f) \end{eqnarray*}$
20.09.2009, 14:06	D@Npower	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gruppen Ouw verflixt ..oke..no comment Alles klar..herzlichen Dank!
21.09.2009, 20:50	Pisa	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gruppen Anmerkung: Damit du vollständig gezeigt hast, dass dein Ausdruck wirklich eine Gruppe ist, musst du noch zeigen, dass es zu jedem Element ein Inverses gibt. Das ist hier aber relativ einfach, denn zu a ist das Inverse ganz einfach $\begin{eqnarray} a^{-1} \end{eqnarray}$ etc...

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