Gruppen oder nicht..

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19.09.2009, 00:24	D@Npower	Auf diesen Beitrag antworten »
Gruppen oder nicht.. Hallo.. Hier muss ich sagen, ob es sich um eine Gruppe handelt oder nicht. Folgendes habe ich gemacht: $\begin{eqnarray} (\mathbb R , \cdot ) \end{eqnarray}$ ist keine Gruppe, da die Null dabei ist. Wäre es R ohne 0, so wäre es eine abelsche Gruppe mit neutralem Element = 1. Das Inverse zu einem Element x wäre dann x^{-1} . Aber da R mit 0 ist, ist es keine Gruppe. $\begin{eqnarray} (\mathbb Q_{>0} , \cdot ) \end{eqnarray}$ ist eine abelsche Gruppe mit neutralem Element = 1. Das Inverse zu einem Element x ist x^{-1} $\begin{eqnarray} ( \mathbb R_{\geq 0} \times \mathbb Z, ) \end{eqnarray}$ a) $\begin{eqnarray} ( \mathbb R_{\geq 0} \end{eqnarray}$ bezeichne die nichtnegativen reellen Zahlen. $\begin{eqnarray} ( \mathbb R_{\geq 0} \end{eqnarray}$ sei mit der Multiplikation und Z mit der Addition versehen. b) $\begin{eqnarray} ( \mathbb R_{\geq 0} , \mathbb Z \end{eqnarray*}$ seien beide mit der Addition versehen. a) ist eine abelsche Gruppe, da sie assoziativ sowie kommutativ ist. Das neutrale Element ist 1. b) ist eine Gruppe (aber nicht abelsch, oder?) Neutrales Element ist 0. ..stimmen die Aufgaben, oder was ist falsch? Vielen Dank und gute Nacht!
19.09.2009, 08:18	Mystic	Auf diesen Beitrag antworten »
Was ist bei b) das Inverse zu (2,0)? Welche Gegenbeispiele zur Kommutativität hast du gefunden? Wie kann 0 neutrales Element sein, obwohl es gar nicht in der Menge liegt?
19.09.2009, 13:18	D@Npower	Auf diesen Beitrag antworten »
Das Inverse wäre dann doch (-2,0) ? Stimmt, die Addition ist natürlich kommutativ, also abelsch! (100%) Zum neutralen Element: Man kann ja mit der Gleichung ( x + 0 = x ) zeigen, dass 0 das neutrale Element ist, oder stimmt das nicht? 0 ist doch in der Menge der reellen Zahlen grösser gleich 0 sowie in der Menge der ganzen Zahlen vertreten..oder habe ich die Aufgabe falsch verstanden? PS: Die anderen Lösungen sind richtig?
19.09.2009, 13:40	Mystic	Auf diesen Beitrag antworten »
Das Inverse "wäre" (-2,0), richtig, aber sollte das Inverse nicht auch in $\begin{eqnarray} \mathbb R_{\geq 0} \times \mathbb Z \end{eqnarray}$ liegen? 0 ist neutrales Element von $\begin{eqnarray} (\mathbb Z,+) \end{eqnarray}$ , das ist ebenfalls richtig, aber geht es hier nicht eigentlich um das neutrale Element in $\begin{eqnarray} (\mathbb R_{\geq 0} \times \mathbb Z,+) \end{eqnarray}$ ? PS: Das neutrale Element in a) ist nicht 1, da es ebenso wie die 0 oben nicht in der Grundmenge enthalten ist. Gottseidank gibt es aber ein anderes neutrales Element, das hier "in die Bresche springt", sodass die Gesamtaussage dann stimmt...
19.09.2009, 23:25	D@Npower	Auf diesen Beitrag antworten »
Achso..stimmt! Das heisst, b) ist gar keine Gruppe..richtig? und bei a) ist nicht 1, sondern 0 das neutrale Element, nicht wahr?
20.09.2009, 10:16	Mystic	Auf diesen Beitrag antworten »
b) ist keine Gruppe, das stimmt, deine Vermutung bez. des neutralen Elements in a) ist leider schon wieder falsch und zwar aus dem gleichen Grund, den wir jetzt schon mehrfach hatten: Wie kann 0 neutrales Element sein, wo es doch nicht einmal in der Grundmenge, die wir hier betrachten, nämlich $\begin{eqnarray} \mathbb R_{\geq 0} \times \mathbb Z \end{eqnarray}$ vorkommt??!
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20.09.2009, 12:09	D@Npower	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn es also weder 0 noch 1 ist, dann müsste es a^-1 sein, wenn a Element der Grundmenge ist..oder sehe ich das falsch?
20.09.2009, 12:25	Mystic	Auf diesen Beitrag antworten »
Es geht hier um neutrale Elemente, nicht um Inverse.
20.09.2009, 13:36	D@Npower	Auf diesen Beitrag antworten »
Ouw ja, das habe ich gerade verwechselt.. trotzdem..mich verunsichert das ziemlich, dass die 1 nicht das neutrale Element ist..verständlich wäre noch die 2 , aber sicher bin ich nicht..

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