Umkehrbarkeit von Graphen und Monotonie

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lobbos Auf diesen Beitrag antworten »
Umkehrbarkeit von Graphen und Monotonie
Guten Tag zusammen, Wink
ich sitze hier vor einer Aufgabe, aber ich komme nicht so recht weiter:

Gegeben ist: f:x -> 1/2x + 2

und der Auftrag lautet:
Begründe warum f umkehrbar ist und gib f^-1 an (mit Vertauschung der Variablen)

1)Ich hab schon im Internet gesucht und habe bis jetzt herausgefunden, dass
streng monotone Funktionen umkehrbar sind.
Also hab ich das mal weiterverfolgt und habe gelesen, dass ich die Monotonie
mit der Ableitung bestimmen kann.

Allerdings weiß ich hier nicht weiter. verwirrt
Ich wäre euch sehr dankbar, wenn ich mir entweder mit der Monotonie
weiterhelfen könntet oder einen ganz anderen Lösungsvorschlag habt.

2) kann ich mit diesem f^-1 nicht viel Anfangen.
Hatt da vielleicht jemand einen Tipp?

Fragen über Fragen Augenzwinkern
Ich hoffe jemand weiß hier weiter

Vielen Dank schonmal,
Lobbos
jester. Auf diesen Beitrag antworten »

kennzeichnet die gesuchte Umkehrabbildung.

Das mit der Monotonie ist zwar nur die halbe Wahrheit, aber wie lautet denn die Ableitung der gegebenen Funktion ?
lobbos Auf diesen Beitrag antworten »

die ableitung von
ist meines Wissens
jester. Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, das ist richtig. Die Frage ist nun, was dir das über die strenge Monotonie der Funktion sagt. Was weißt du denn über die Monotonie?

PS: Üblicherweise schreibt man für eine Funktion die Ableitung als .
lobbos Auf diesen Beitrag antworten »

Die erste Ableitung zeigt mir ja die Steigung.
Ich weiß jetzt also, dass der Graph streng Monoton ansteigt,
da er ja keine Wendepunkte haben kann...
oder?

Vielen Dank schonmal für
deinen Bemühungen Gott
jester. Auf diesen Beitrag antworten »

Das hat mit Wendepunkten erstmal nichts zu tun. Der Graph der Funktion ist jedoch tatsächlich streng monoton steigend, da für alle gilt.

Da das geklärt ist, wie führt diese Überlegung zu der Tatsache, dass umkehrbar ist? Vielleicht hilft da auch der Plot weiter:



Zur zweiten Frage: Weißt du, wie man durch "Vertauschung der Variablen" die Umkehrfunktion konstruieren kann?
 
 
lobbos Auf diesen Beitrag antworten »

So, ich habe gerade nochmal ein bisschen im Internet rumgesucht
und habe gelesen, dass eine Funktion dann umkehrbar ist wenn
es für jeden x-Wert genau einen y-Wert gibt.
Stimmt das?

Zur Umkehrfunktion:
die müsste glaube ich so aussehen:
Erstaunt1
jester. Auf diesen Beitrag antworten »

So könnte man das ungefähr sagen. Der Fachbegriff lautet: Die Funktion ist bijektiv. Das heißt jedes y in der Zielmenge wird von genau einem x durch die Abbildung getroffen und es werden alle y in der Zielmenge getroffen.

Die Umkehrfunktion ist richtig. Das kann man auch leicht überprüfen, indem man die Abbildung "hintereinander ausführt":

und
lobbos Auf diesen Beitrag antworten »

Super,
damit sind meine Fragen glaube ich geklärt

Vielen Dank für deine Hilfe und Geduld! Freude
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