Ableitung bzw. Beweis, dass Funktion Stammfunktion ist

19.09.2009, 21:00

frusciante

Ableitung bzw. Beweis, dass Funktion Stammfunktion ist

Ich soll beweisen das diese Stammfunktion: $\begin{eqnarray*} Fk(t) = \frac{-k}{1+ e^{t} } \end{eqnarray*}$

die Stammfunktion von:

$\begin{eqnarray*} fk(x)=k*\frac{e^{t}}{(1+e^{t})^{2}} , k> 0 , t \geq 0 \end{eqnarray*}$

ist. Leichter gesagt als getan. Mir ist nicht ganz klar wie ich da vorgehe. Ich bin jetzt davon ausgegangen das die Ableitung von e^t gleich e^t ist. Ebenfalls bin ich davon ausgegangen das die Ableitung von -k gleich -k ist. Ich könnte mir vorstellen das vielleicht darin schon mein Fehler liegt. Auf jeden Fall bekomme ich mit der Quotientenregel ((u'v - v'u) : v^2) nicht das richtige Ergebnis (und das weiß ich, weil ich weiß daß die Funktion wirklich Stammfunktion ist). Ich komme da einfach nicht drauf. Vielleicht kann mir jemand helfen. Habe jetzt mal darauf verzichtet meinen Ansatz mit anzugeben da ich denke das allein schon der falsch sein könnte. Außerdem ist mir der Weg prinzipiell klar und sonst ist sowas meist kein Problem. Irgendwas muß ich einfach übersehen haben. Und viele Augen sehen bekanntlich viel mehr. Also: Danke schonmal! smile

Frusciante

19.09.2009, 21:02

IfindU

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RE: Ableitung bzw. beweisen das Funktion Stammfunktion ist.
Auch wenn Quotientenregel übertriebener Aufwand ist, müsste es damit auch gehen. Schreib mal deine Schritte auf.

19.09.2009, 21:41

mYthos

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RE: Ableitung bzw. Beweis, dass Funktion Stammfunktion ist

Zitat:

Original von frusciante
...
Ebenfalls bin ich davon ausgegangen das die Ableitung von -k gleich -k ist.
...

Das stimmt nicht. Denn die Ableitung einer Konstanten ist 0.
Nur ein konstanter Faktor VOR einer Funktion bleibt erhalten.

mY+

19.09.2009, 22:03

frusciante

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Ah, okay! Lustigerweise hatte ich auch schon einen Versuch gestartet, bei dem ich davon ausgegangen bin. Allerdings kam ich dann auf folgendes:

$\begin{eqnarray*} \frac{(-k * e^{t}) - (0 * (1 +e^{t}))}{(1+e^{t})^{2}} = -k * \frac{e^{t} }{(1+e^{t})^{2}} \end{eqnarray*}$

Fast korrekt. Aber irgendwie habe ich jetzt ein Minus zuviel. verwirrt

19.09.2009, 22:18

Draos

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RE: Ableitung bzw. Beweis, dass Funktion Stammfunktion ist
Du hast die Quotientenregel verdreht. Es heißt $\begin{eqnarray*} u'(t)*v(t)-u(t)*v'(t) \end{eqnarray*}$

19.09.2009, 22:32

mYthos

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Kein Wunder, denn die beiden Summanden im Zähler sind fälschlicherweise vertauscht worden.

mY+

19.09.2009, 22:52

Draos

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$\begin{eqnarray*} F_k(t)=\frac{-k}{1+e^t} \end{eqnarray*}$

Oder mittels Kettenregel.

$\begin{eqnarray*} F_k(t)=-k\cdot (1+e^t)^{-1} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} F_k'(t)=k\cdot (1+e^t)^{-2}\cdot e^t \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} F_k'(t)=\frac{k\cdot e^t}{(1+e^t)^2} \end{eqnarray*}$

Da es keine wirkliche Zählerfunktion gibt sondern nur eine Nennerfunktion.

20.09.2009, 14:15

frusciante

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Alles klar! Vielen Dank an alle, jetzt weiß ich bescheid. So, erstmal bißchen auf den Kopf hämmern: Hammer

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