Funktionen/ deren Umkehrung...

20.09.2009, 00:08

Tempo

Funktionen/ deren Umkehrung...

Erstmal HALLO Wink

an alle!

Bin neu hier und hab grad irgendwie ein Brett vor dem Kopf... Hoff mal ihr könnt mir ein bisschen auf die Sprünge helfen.

Also ich hab vollgende Aufgabe zu lösen:

Gegeben sei die Funktion
f:x ->{x+1_____für x<0
0,5x+1___für x>0
a) Zeichnen sie den Graphen von f in ein Koordinatensystem. Hab ich hingekriegt
b) Zeigen Sie: Die Funktion f ist umkehrbar. Umkehrbar ist sie glaub schon, aber wie soll ich das bitte zeigen?
c)Zeichnen Sie den Graphen von f^-1, und geben Sie f^-1 in der Schreibweise für Funktionen an. Sind es dann nicht wie oben eigentlich 2 Funktionen sozusagen zusammengefasst?

DANKE schonmal im Voraus!

20.09.2009, 00:30

tigerbine

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RE: Funktionen/ deren Umkehrung...
Willkommen

Schau mal in das Latex Tutorial.

$\begin{eqnarray*} f(x):=\begin{cases}x+1 & x<0 \\ 0.5x+1 & x>0 \end{cases} \end{eqnarray*}$

Ist x=0 ausgeschlossen? verwirrt

Umkehrbar bedeutet, dass man jedem x eineindeutig ein f(x) zuordnen kann. Für dich bedeutet das vorallem zu prüfen, ob du, wenn du f(x) kennst, eindeutig sagen kannst, was x ist. Klassisches Gegenbeispiel:

Nun berechne die Umkehrung. Geometrisch ist das eine Spiegelung an g(x)=x. Du sollst wieder mit Fallunterscheidung arbeiten. Frage: Wie lautet der Schnittpunkt der Funktionen?

20.09.2009, 00:30

Bakatan

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Und es steht nicht zufällig bei einem von beiden $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ ? Das würde das ganze etwas verschönern.
Ob es eine allgemeinere Methode gibt ist mir nicht bekannt, ich würde zeigen, dass die Funktion $\begin{eqnarray*} f:\mathbb R \backslash \{0\} \rightarrow \mathbb R \backslash \{1\} \end{eqnarray*}$ bijektiv ist.
Die Umkehrfunktion wird wohl wieder aus zwei Teilfunktionen bestehen, ja.
edit: und mal wieder genau gleichzeitig geantwortet...

20.09.2009, 00:49

Tempo

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Ihr hab recht, in der oberen Zeile steht x "kleiner oder gleich" 0 Ups

Also,wenn ich das richtig versteh, soll ich für b) die Umkehrungen versuchen auszurechnen, und dann für c) in ein Koordinatensystem einzeichnen?
Könntet ihr euch vielleicht noch meine Umformungen anschauen? Wäre echt super von euch.

Beim ersten krieg y=x-1 raus und beim zweiten y=(x-1)/2

@tigerbine
wo find ich denn das Latex Tutorial? Kenn mich wie du siehst nicht sonderlich gut mit Mathe und allem was dazu gehört aus, aber was nicht ist, kann ja noch werden...

20.09.2009, 10:45

tigerbine

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$\begin{eqnarray*} f(x):=\begin{cases}x+1 & x \leq 0 \\ 0.5x+1 & x>0 \end{cases} \end{eqnarray*}$

Ich wiederhole meine Fragen. Wo schneiden die sich? Bei (0/1). Umkehren bedeutet,

y=x+1

Umbenennen

x=y+1

Umstelen

y=x-1

Analog bei der zweiten Funktion. Daher:

$\begin{eqnarray*} f^{-1}(x)=\begin{cases}x-1 & x \leq 1 \\ 2x-2 & x>1 \end{cases} \end{eqnarray*}$

Tutorials:

Wie kann man Formeln schreiben?
http://www.matheboard.de/board.php?boardid=89
http://de.wikipedia.org/wiki/Wikipedia:TeX

Hier wegen der Fallunterscheidung: \cases verwenden. Übung macht den Meister... Augenzwinkern