Auf- und Ableitung mit ln

20.09.2009, 10:58

Seno

Auf- und Ableitung mit ln

Gegeben sind die Funktionen:
$\begin{eqnarray*} v(x)=x^2+1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} u'(v(x))=\frac{1}{v(x)} \end{eqnarray*}$

Diese letzte entspricht dann: $\begin{eqnarray*} u'(x)=\frac{1}{x^2+1} \end{eqnarray*}$

Die Aufgabe ist u'(x) aufzuleiten und anschließen wieder abzuleiten um zu sehen ob die Aufleitung stimmt.

Mein Rechenansatz:
$\begin{eqnarray*} u'(x)=\frac{1}{x^2+1} \Rightarrow u(x)=ln(x^2+1) \end{eqnarray*}$

Überprüfung:
$\begin{eqnarray*} u(x)=ln(x^2+1) \Rightarrow u'(x)=\frac{2x}{x^2+1} \end{eqnarray*}$ (weil Außere und Innere Ableitung), Doch das ist ja falsch, weil u'(x)= $\begin{eqnarray*} \frac{1}{x^2+1} \end{eqnarray*}$ sein soll.

Ich hoffe ihr könnt mir weiterhelfen.

20.09.2009, 11:05

Rare676

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guck die mal den arctan(x) an...

20.09.2009, 11:10

Seno

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Zitat:

Original von Rare676
guck die mal den arctan(x) an...

Mit dem habe ich noch nie gearbeitet, wie kommst du denn eig auf den tan.. naja die das meinst du oder? $\begin{eqnarray*} (\tan(x))' = \frac{1}{cos²x}=1+(\tan(x))² \end{eqnarray*}$

20.09.2009, 13:31

Bakatan

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Wer lesen kann ist klar im Vorteil...
Was er meinte ist:
$\begin{eqnarray*} \frac{d}{dx}\arctan (x)=\frac{1}{x²+1} \end{eqnarray*}$
Ausserdem verstehe ich nicht ganz, wie du von
$\begin{eqnarray*} u'(v(x))=\frac{1}{v(x)} \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} u'(x)=\frac{1}{x²+1} \end{eqnarray*}$ kommst

20.09.2009, 20:06

Seno

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Zitat:

Original von Bakatan
Wer lesen kann ist klar im Vorteil...
Was er meinte ist:
$\begin{eqnarray*} \frac{d}{dx}\arctan (x)=\frac{1}{x²+1} \end{eqnarray*}$

Habe noch nie davon gehört..Wie kommt ihr denn auf tan?.. Kann das jmd ausführen?

Zitat:

Ausserdem verstehe ich nicht ganz, wie du von
$\begin{eqnarray*} u'(v(x))=\frac{1}{v(x)} \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} u'(x)=\frac{1}{x²+1} \end{eqnarray*}$ kommst

Naja ich habe einfach v(x) in u'(v(x)) eingesetzt..

Edit:
.. ich schreibe morgen eine Arbeit. bitte helft mir traurig

20.09.2009, 20:51

FlixH

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sicher, dass die angabe nicht lautet u'(x) = 1/v(x) ?
so hast du nämlich gerechnet.

also du hast versucht u' zu integrieren, dein ergebnis ist falsch, das hast du ja durch die anschließende probe selbst bewiesen.
nachdem dir keine bessere lösung für das integral einfällt, solltest du deine formelsammlung zur hand nehmen und schauen, ob das entsprechende integral vllt in der formelsammlung enthalten ist.
das ist hier der fall, in der formelsammlung steht f(x) = arctan(x) --> f'(x) = 1/(1+x^2)
das gesuchte integral ist also der arctan.

mfg
felix

20.09.2009, 20:54

Bakatan

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Nochmal: es geht hier um den arctan also den arcustangens, die Umkehrfunktion des tangens.
Aus $\begin{eqnarray*} u'(v(x))=\frac{1}{v(x)} \end{eqnarray*}$ würde ich aber eher folgern, dass $\begin{eqnarray*} u'(x)=\frac{1}{x} \end{eqnarray*}$
Bei beiden Varianten muss man aber für die Ableitung zur Probe ein klein wenig weiter ausholen.

edit: Es gilt: $\begin{eqnarray*} (f^{-1})'(y)=\frac{1}{f'(x)} \end{eqnarray*}$ ( Umkehrfunktion muss existieren und differenzierbar sein ) und mit $\begin{eqnarray*} \frac{d}{dx}\tan (x)=1+\tan ²(x) \end{eqnarray*}$ ist dann
$\begin{eqnarray*} \frac{d}{dy}\arctan (y)=\frac{1}{\frac{d}{dx}\tan (x)}=\frac{1}{1+tan ²(x)}=\frac{1}{1+y²} \end{eqnarray*}$

Ebenso gilt: $\begin{eqnarray*} \frac{d}{dy}\ln (y)=\frac{1}{e^{\ln (y)}}=\frac{1}{y} \end{eqnarray*}$
( Falls die Funktion doch $\begin{eqnarray*} \frac{1}{x} \end{eqnarray*}$ sein sollte. )

20.09.2009, 21:20

Seno

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öhm ich versteh nur bahnhof..

20.09.2009, 21:44

Bakatan

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Sorry, hatte zwei mal statt $\begin{eqnarray*} \frac{d}{dy} \end{eqnarray*}$ aus versehen $\begin{eqnarray*} \frac{d}{dx} \end{eqnarray*}$ geschrieben. Ich hoffe ich hab mich nicht noch wo anders vertan.

Tangens ist bekannt denke ich mal, arcustangens ist die Umkehrfunktion, $\begin{eqnarray*} \tan ^{-1}(x) \end{eqnarray*}$
Und deren Ableitung ist halt wie bereits erwähnt gerade $\begin{eqnarray*} \frac{1}{1+x²} \end{eqnarray*}$
Das mit dem natürlichen Logarithmus habe ich nur angefügt, falls u' doch $\begin{eqnarray*} \frac{1}{x} \end{eqnarray*}$ sein sollte.

21.09.2009, 07:20

Seno

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danke habs verstanden

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