Integration von cos(sqrt(x))

Neue Frage »

20.09.2009, 11:48	DOZ ZOLE	Auf diesen Beitrag antworten »
Integration von cos(sqrt(x)) Hallo, ich mache gerade nen Vorbereitungsmathekurs an der Uni und soll im Zuge dessen auch trigonometrische Funktionen Integrieren können. Leider habe ich das bisher nicht gemacht weil es nicht im Lehrplan bis zum Abi stand. folgendes habe ich Versucht: $\begin{eqnarray} \int_{}^{}~cos(\sqrt{x})~dx \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =\frac{sin(\sqrt{x})}{\frac{1}{2\sqrt{x}}} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =2\sqrt{x}\cdot sin(\sqrt{x}) \end{eqnarray}$ Wenn ich nun aber die "Probe" mache und das wieder ableite erhalte ich: $\begin{eqnarray} \left( 2\sqrt{x}\cdot sin(\sqrt{x})\right)'=\frac{sin(\sqrt{x})}{\sqrt{x}}+cos(\sqrt{x})\neq cos(\sqrt{x}) \end{eqnarray}$ Kann mir jemand weiterhelfen und meinen Denkfehler aufdecken? MfG DOZ ZOLE
20.09.2009, 11:57	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Integration von cos(sqrt(x)) Da mir gerade kein formaler Weg einfällt (vlt funktioniert es über Partielle Integration): Du weißt dass deine Stammfunktion abgeleitet deine Ausgangsfunktion ergibt + einen weiteren Summanden. Du könntest versuchen ihn zu integrieren (das sollte über Substitution gehen) und das dann einfach von deiner Stammfunktion abziehen.
20.09.2009, 12:11	DOZ ZOLE	Auf diesen Beitrag antworten »
danke aber gerade da liegt das problem. ich muss $\begin{eqnarray} cos(\sqrt{x}) \end{eqnarray}$ um den ganzen term $\begin{eqnarray} \frac{sin(\sqrt{x})}{\sqrt{x}} \end{eqnarray}$ integrieren zu können. Meine eigentliche Funktion ist ebend gerade $\begin{eqnarray} f(x)=\frac{sin(\sqrt{x})}{\sqrt{x}} \end{eqnarray}$ . Wenn ich die jetzt über partielle Integration versuche zu Integrieren erhalte ich: $\begin{eqnarray} \int_{}^{}~\frac{sin(\sqrt{x})}{\sqrt{x}}~dx= 2\sqrt{x}\cdot sin(\sqrt{x})-\int_{}^{}~cos(\sqrt{x})~dx \end{eqnarray}$ und da komme ich nicht weiter ohne das intergral von $\begin{eqnarray} cos(\sqrt{x}) \end{eqnarray}$ oder?
20.09.2009, 12:16	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Deine Ausgangsfunktion kannst du prima über Substitution lösen. Dann sparst du dir den unsauberen Umweg von mir.
20.09.2009, 12:23	DOZ ZOLE	Auf diesen Beitrag antworten »
denn einfach folgendes lösen und rücksubstituieren? $\begin{eqnarray} t:=\sqrt{x} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \int_{}^{}~\frac{sin(t)}{t}~dt \end{eqnarray}$
20.09.2009, 12:33	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Zum Substituieren gehört auch, das $\begin{eqnarray} \dd x \end{eqnarray}$ richtig (!) zu ersetzen, also nicht einfach nur statt $\begin{eqnarray} \dd x \end{eqnarray}$ dann $\begin{eqnarray} \dd t \end{eqnarray}$ zu schreiben. $\begin{eqnarray} x = t^2 \end{eqnarray}$ , also $\begin{eqnarray} \dd x = 2t ~ \dd t \end{eqnarray}$
Anzeige

20.09.2009, 13:52	DOZ ZOLE	Auf diesen Beitrag antworten »
wie kommt man auf diese umformung?
20.09.2009, 13:57	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie man von $\begin{eqnarray} t =\sqrt{x} \end{eqnarray}$ auf $\begin{eqnarray} x=t^2 \end{eqnarray}$ kommt? Das fragst du doch nicht im Ernst, oder?
20.09.2009, 14:05	DOZ ZOLE	Auf diesen Beitrag antworten »
nein die frage war wie ich von $\begin{eqnarray} t=\sqrt{x} \end{eqnarray}$ nach $\begin{eqnarray} dx=2t \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} dt \end{eqnarray}$ geht das so?: $\begin{eqnarray} t:=\sqrt{x} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{dt}{dx}=\frac{1}{2t} \Rightarrow dx=2t \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} dt \end{eqnarray}$
20.09.2009, 14:07	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, so rum geht's auch - ich hatte aber einfach an die Ableitung von $\begin{eqnarray} t^2 \end{eqnarray}$ nach $\begin{eqnarray} t \end{eqnarray}$ gedacht.
20.09.2009, 14:12	DOZ ZOLE	Auf diesen Beitrag antworten »
ok. dann ergibt sich der vollständigkeit halber folgendes: $\begin{eqnarray} \int_{}^{}~\frac{sin(\sqrt{x})}{\sqrt{x}}~dx=\int_{}^{}~\frac{sin(t)}{t}\cdot 2t~dt=-2\cdot cos(t)=-2\cdot cos(\sqrt{x}) \end{eqnarray}$

Neue Frage »

Antworten »

Integration von cos(sqrt(x))

Verwandte Themen