Norm-Ungleichung

20.09.2009, 14:31

HammerFox

Norm-Ungleichung

Ich soll zeigen, dass für $\begin{eqnarray*} f \in C^{0}([a,b]), \mathbb{R}^{n}) \end{eqnarray*}$ folgende Ungleichung gilt:

$\begin{eqnarray*} \vert \vert \int_{a}^{b} f(x) \, dx \vert \vert \leq \int_{a}^{b} \vert \vert f(x) \vert \vert \, dx \end{eqnarray*}$ ,

wobei || || eine beliebige p-Norm auf dem R^n ist. Soll allgemein gezeigt werden (also nich nur für ein bestimmtes p, was ja durch die Äquivalenz der Normen auch möglich wäre).

Mein Ansatz scheint nicht zu funktionieren:

$\begin{eqnarray*} \vert \vert \int_{a}^{b} f(x) \, dx \vert \vert = \left( \sum_{k=1}^{n} \vert \int_{a}^{b} \, f_{k}(x) \, dx \vert^{p} \right)^{1/p} \leq \left( \sum_{k=1}^{n} \int_{a}^{b} \vert f_{k}(x) \vert^{p} \, dx \right)^{1/p} = \left( \int_{a}^{b} \sum_{k=1}^{n} \vert f_{k}(x) \vert^{p} \, dx \right)^{1/p} \end{eqnarray*}$

Ich komme hier nicht mehr weiter, vielleicht hab ich auch etwas falsch gemacht. Kann mir da jemand helfen?

20.09.2009, 15:19

Romaxx

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RE: Norm-Ungleichung
Schreibe $\begin{eqnarray*} \left|\left| \int_{a}^{b} f(x) ~ dx\right|\right| \end{eqnarray*}$ um in die Riemannsumme, nutze die Stetigkeit der Norm und die Dreiecksungleichung um diese in die Reihe zu ziehen.
Die Komposition stetiger Funktionen ist stetig, damit ist $\begin{eqnarray*} \left|\left| f(x) \right|\right| \end{eqnarray*}$ riemannintegrierbar und du kannst es wieder in die Integralform schreiben.

Gruß

20.09.2009, 16:13

HammerFox

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Aber wie schreibe ich das in eine Riemannsche Summe um? Die Funktion f ist doch mehrdimensional.

20.09.2009, 17:03

Romaxx

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RE: Norm-Ungleichung
Genau wie im Eindimensionalen, nur das $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ein vektorwertige Funktion ist, was an der Symbolik nichts ändert.

$\begin{eqnarray*} \left|\left| \int_{a}^{b} f(x) ~ dx\right|\right|=\left|\left|\sum_{k=1}^{\infty} f(\xi)\Delta x_k\right|\right|=... \end{eqnarray*}$

20.09.2009, 17:31

HammerFox

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$\begin{eqnarray*} \left|\left| \int_{a}^{b} f(x) ~ dx\right|\right|=\left|\left|\sum_{k=1}^{\infty} f(\xi)\Delta x_k\right|\right| \leq \sum_{k=1}^{\infty} \left|\left| f(\chi) \right|\right| \Delta x_{k} = \int_{a}^{b} \left|\left| f(x) \right| \right| ~ dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int_{a}^{b} \left|\left| f(x) \right|\right| ~ dx \end{eqnarray*}$ existiert, da die Komposition von f mit der Norm eine stetige und damit integrierbare Abbildung ist.

Kann ich jetzt daraus schlussfolgern, dass die Reihe $\begin{eqnarray*} \left|\left|\sum_{k=1}^{\infty} f(\xi)\Delta x_k\right|\right| \end{eqnarray*}$ absolut konvergent ist und man deshalb die Dreiecksungleichung anwenden darf? Oder muss man das anders begründen? Weil die Ungleichung bezieht sich ja eigentlich auf den "gewöhnlichen" Betrag!?

20.09.2009, 18:21

Romaxx

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Zitat:

Kann ich jetzt daraus schlussfolgern, dass die Reihe $\begin{eqnarray*} \left|\left|\sum_{k=1}^{\infty} f(\xi)\Delta x_k\right|\right| \end{eqnarray*}$ absolut konvergent ist und man deshalb die Dreiecksungleichung anwenden darf? Oder muss man das anders begründen? Weil die Ungleichung bezieht sich ja eigentlich auf den "gewöhnlichen" Betrag!?

Die absolute Konvergenz von $\begin{eqnarray*} \left|\left|\sum_{k=1}^{\infty} f(\xi)\Delta x_k\right|\right| \end{eqnarray*}$ steht für die Integrierbarkeit von $\begin{eqnarray*} \left|\left| f(x) \right| \right| \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} \left|\left| \int_{a}^{b} f(x) ~ dx\right|\right|=\left|\left|\sum_{k=1}^{\infty} f(\xi)\Delta x_k\right|\right| =\left|\left|\lim_{\lambda(\delta)\to 0}\sum_{k=1}^{n} f(\xi)\Delta x_k\right|\right| \overset{!}=\lim_{\lambda(\delta)\to 0}\left|\left|\sum_{k=1}^{n} f(\xi)\Delta x_k\right|\right| \overset{*} \leq \lim_{\lambda(\delta)\to 0}\sum_{k=1}^{n} \left|\left|f(\xi)\right|\right|\Delta x_k =\sum_{k=1}^{\infty} \left|\left|f(\xi)\right|\right|\Delta x_k= \int_{a}^{b} \left|\left| f(x) \right| \right| ~ dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{\lambda(\delta)\to 0} \end{eqnarray*}$ bezeichnet dabei, dass die Länge der größten Intervalls aus der Zerlegung gegen Null geht.

Man kann hier auch andere Notationen verwenden wie $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to \infty} \end{eqnarray*}$ .

Es soll nur verdeutlicht werden, das hier eine Zerlegung vorliegt.

Bei $\begin{eqnarray*} ! \end{eqnarray*}$ wird die Stetigkeit der Norm ausgenutzt.

Bei $\begin{eqnarray*} * \end{eqnarray*}$ wird die Integrierbarkeit von $\begin{eqnarray*} \left|\left| f(x) \right| \right| \end{eqnarray*}$ ausgenutzt, sodass man die Dreiecksungleichung verwenden kann.

Gruß

20.09.2009, 19:21

HammerFox

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Vielen Dank smile

20.09.2009, 23:57

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von Romaxx
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{\infty} f(\xi)\Delta x_k \end{eqnarray*}$

Dieses Zeichen ist für Riemannsummen nicht sinnvoll! Man wählt dabei immer feinere Unterteilungen. In jedem Schritt ändert sich dabei nicht nur die Anzahl der Summanden, sondern auch alle Summanden selbst ändern sich! Es ist also keine Reihe der Form

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{\infty}~a_n \end{eqnarray*}$ ,

bei der ja die Folge $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ fest vorgegeben ist und nicht von irgendeiner Zerlegung abhängt. Man sollte deshalb mit Riemannsummen vorsichtiger sein - Integrale sind eben keine Riemannreihen, sondern Grenzwerte von Riemannsummen mit sich verändernden Summanden!

21.09.2009, 00:10

Romaxx

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Ja, du hast recht. Kritik angenommen. Freude

21.09.2009, 00:13

HammerFox

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Aber abgesehen von der Schreibweise für die Riemann-Summen ist der Beweis oben trotzdem richtig, oder?

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