Aussage verstehen

20.09.2009, 14:45

Trinitus

Aussage verstehen

Die Zahlenfolge ( $\begin{eqnarray*} a_{n} \end{eqnarray*}$ ) konvergiert gegen einen Grenzwert $\begin{eqnarray*} a \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ genau dann wenn gilt:

$\begin{eqnarray*} \forall \epsilon > 0 : \exists N \in \mathbb N : \forall n > N: |a - a_{n} | < \epsilon \end{eqnarray*}$

Wir sollen jetzt eine äquivalente Aussage formulieren für die aussage das $\begin{eqnarray*} a_{n} \end{eqnarray*}$ nicht gegen $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ konvergiert.

Für mich geht es jedoch erstmal um das Verständnis der Aussage. Wie liest man diese Aussage?

Ich hab mir folgendes dabei gedacht.
$\begin{eqnarray*} \forall \epsilon > 0 \end{eqnarray*}$ :
Für alle Zahlen größer 0
$\begin{eqnarray*} \exists N \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ :
Gibt es N, welches element der Natürlichen Zahlen ist 1,2,3,4 usw.
$\begin{eqnarray*} \forall n > N \end{eqnarray*}$ :
Für alle n welche größer N sind? ab hier bin ich mir nicht sicher
$\begin{eqnarray*} |a - a_{n} | < \epsilon \end{eqnarray*}$ :
von a - an < ?

Leider versteh ich diese Aussage nicht und würde sie gerne erst einmal verstehen bevor ich sie negiere.

Über Antworten würde ich mich freuen.

mfg
trin

20.09.2009, 15:03

ge88

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RE: Aussage verstehen

Zitat:

Original von Trinitus
$\begin{eqnarray*} \forall \epsilon > 0 : \exists N \in \mathbb N : \forall n > N: |a - a_{n} | < \epsilon \end{eqnarray*}$

Wie liest man diese Aussage?

Fuer alle $\begin{eqnarray*} \varepsilon > 0 \end{eqnarray*}$ existiert ein $\begin{eqnarray*} N \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ , so dass fuer alle $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} n > N \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} |a - a_n| < \varepsilon \end{eqnarray*}$ .

20.09.2009, 15:06

Trinitus

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Danke für die schnelle antwort, aber wofür steht das epsilon? wie kann man das lesen?

20.09.2009, 15:59

ge88

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http://de.wikipedia.org/wiki/Grenzwert_(Folge)

http://de.wikipedia.org/wiki/Epsilontik

Zitat:

[...]

Der Betrag der Abweichung von dem Grenzwert wird in der Regel mit dem griechischen Buchstaben Epsilon $\begin{eqnarray*} (\varepsilon) \end{eqnarray*}$ bezeichnet.

[...]

20.09.2009, 17:10

Trinitus

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Vielen Dank!

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