Integrierbarkeit (Riemann-Funktion)

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ge88 Auf diesen Beitrag antworten »
Integrierbarkeit (Riemann-Funktion)
Ist die Riemann-Funktion



ueber [0,1] integrierbar?


Man muss jetzt die Unstetigkeitsmenge U(f) bestimmen und falls U(f) eine Nullmenge ist, so ist f integrierbar, richtig? Damit habe ich aber Probleme.
Was ich schon weiss:
Die Ganzteilfunktion ist fuer alle unstetig, also sollte sie fuer stetig (und auch konstant) sein. Es gilt auch . Koennte ich etwas damit machen? Oder kann ich n von der Klammer befreien? Vielleicht sind meine Fragen doof, aber grad verstehe ich es irgendwie echt nicht..
Danke fuer die Hilfe.
Wirr Auf diesen Beitrag antworten »

Man betrachte die Funktion als Grenzfunktion einer Funktionenreihe. Mit dem Weierstraßsches Majorantenkriterium folgt die gleichmäßig Konvergenz:
.

Auf dem Intervall folgt aufgrund von gleichmäßigen Konvergenz und der Stetigkeit der Partialsummen, die Stetigkeit der Grenzfunktion . Also ist auf fast überall stetig und damit Riemann-integrierbar.
 
 
ge88 Auf diesen Beitrag antworten »

Ah, verdammt! Wie doof von mir.. traurig
Vielen Dank!!
AD Auf diesen Beitrag antworten »

@Wirr

Gleichmäßig konvergent: Ja.

Stetigkeit der Partialsummen: Nein! Diese Funktionen sind nicht stetig, und die Grenzfunktion ist es auch nicht. Man sieht es sehr leicht an der rechten Intervallgrenze 1, dort ist , während

.

Wenn ich das richtig überblicke, ist die Grenzfunktion sogar an sämtlichen rationalen Stellen unstetig, aber eben dennoch riemannintegrierbar. Augenzwinkern
Wirr Auf diesen Beitrag antworten »

Hi Arthur Dent. Ich habe die Funktion eingeschränkt auf betrachtet. Auf diesem Intervall ist die Gaussklammer-Funktion stetig und damit auch die Partiallsummen (Komposition stetiger Funktionen).
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Die Funktion ist auf für NICHT stetig, z.B. im Fall unstetig an der Stelle . Oder zweifelst du an, dass ? Augenzwinkern

Ich bin schon ein wenig enttäuscht, dass du so gar nicht über meinen Einwand nachgedacht hast, sondern ihn in gespielter Souveränität und mit falschen Argumenten niederbügeln willst.
Wirr Auf diesen Beitrag antworten »

Hi Arthur Dent. Du hast eindeutig recht, ich habe mir wirklich keine Gedanke dazu gemacht. Allerdings hast du mich hierbei schon verloren:

Zitat:
Man sieht es sehr leicht an der rechten Intervallgrenze 1, dort ist , während .
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Versteh ich jetzt nicht. unglücklich
Wirr Auf diesen Beitrag antworten »

Warum ist ?
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Ich verstehe das jetzt so, dass du die Kurzschreibweise

,

(hier für ) nicht kennst - ansonsten wäre diese Frage ziemlich bescheuert.
ge88 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Arthur Dent
Wenn ich das richtig überblicke, ist die Grenzfunktion sogar an sämtlichen rationalen Stellen unstetig

Das ist also die Unstetigkeitsmenge? Leider ueberblicke ich es nicht - vielleicht hast du einen Tipp?
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Betrachten wir ein rationales , d.h., es gibt teilerfremde natürliche Zahlen mit . Dann hat an der Stelle genau dann einen "Sprung" (und zwar der Höhe nach unten), falls ein Vielfaches von ist. Dazu lässt sich nachweisen, dass die entsprechenden links- und rechtsseitigen Grenzwerte an dieser Stelle existieren.

Im Fall irrationaler liegt der Fall anders, da ist an der Stelle für alle stetig, was sich dann auch auf die Grenzfunktion überträgt (sollte aber "sauberer" bewiesen werden als nur mit diesem Satz).


EDIT: Sprunghöhe korrigiert - das mit dem Faktor kommt dann ja erst in der Summe zum Tragen, aber noch nicht im obigen . Augenzwinkern
ge88 Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank! Grad versuche ich das zu beweisen, aber es koennte ewig dauern, deshalb wollte ich jetzt nur kurz danke sagen.
ge88 Auf diesen Beitrag antworten »

Sei und . Und weiter sei mit fuer ein .

Fuer die Folge mit gilt:






Und fuer die Folge mit gilt:





Ich hoffe, es ist soweit ok..?
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, genau das ist die Idee bei den Einzelfunktionen.
ge88 Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, sehr gut. Aber was ist eine geeignete Darstellung fuer eine irrationale Zahl? Ist es richtig zu glauben, dass an irrationalen Stellen dasselbe passiert, wie an den rationalen Stellen, wo aber n kein Vielfaches von q ist?
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Genauso ist es - du findest da für jedes ein geeignet kleines Intervall um die besagte Stelle herum, wo konstant und damit stetig ist.
ge88 Auf diesen Beitrag antworten »

Alles klar. Vielen, vielen Dank! smile
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Noch eine Anmerkung:

Um die Stetigkeit für die Gesamtfunktion zu zeigen, würde man strategisch etwa so vorgehen:

Zu beliebigem findet man erstmal ein mit .

Für betrachten wir dann den Durchschnitt der laut obiger Bemerkung existenten Stetigkeitsintervalle rund um , dann ist also auch auf stetig, es existiert somit auch ein mit sowie für alle .

Mit Dreiecksungleichung folgt dann auch für alle und damit Stetigkeit.
ge88 Auf diesen Beitrag antworten »

Riemann und seine Funktionen - nix da alles klar...
Was weiss man jetzt ueber - ist das eine Nullmenge? War uns das nicht schon bewusst, da nur an rationalen Stellen unstetig sein kann? Ich haette damit argumentiert und anscheinend waere das falsch gewesen, daher danke fuer die Anmerkung.
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