unmögliche Linearität

21.09.2009, 00:41	Fünkchen	Auf diesen Beitrag antworten »
unmögliche Linearität Eine Abbildung A zwischen zwei Vektorräumen über den reellen Zahlen habe folgende zwei Eigenschaften: $\begin{eqnarray} A(x+y)=A(x)+A(y) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} A(-x)=-A(x) \end{eqnarray}$ . Zeige, dass es unmöglich ist aus ihnen die Eigenschaft $\begin{eqnarray} A(ax)=aA(x); a\in\mathbb{R} \end{eqnarray}$ abzuleiten.
21.09.2009, 00:57	Fünkchen	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Gleichung $\begin{eqnarray} A(-x)=-A(x) \end{eqnarray}$ scheint nicht gebraucht zu werden.
21.09.2009, 12:08	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo! Was sind denn deine Ansätze? Hier gibt es keine Komplettlösungen oder ähnliches, also zeig erstmal, was du dir schon überlegt hast.
21.09.2009, 12:50	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Man kann leicht zeigen, dass aus der Eigenschaft $\begin{eqnarray} A(x+y)=A(x)+A(y) \end{eqnarray}$ durchaus $\begin{eqnarray} A(ax) = aA(x) \end{eqnarray}$ für beliebige rationale $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ folgt. Vielleicht hilft eine Betrachtung der dabei durchgeführten Schritte sich klarzumachen, warum es für irrationale $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ so nicht klappt. P.S.: Das ganze ist auch unter dem Begriff Cauchysche Funktionalgleichung bekannt.

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