Sachaufgabe Mischverhältnis beim Thema Matrizen

21.09.2009, 12:05	thorbb	Auf diesen Beitrag antworten »
Sachaufgabe Mischverhältnis beim Thema Matrizen hallo, komme hier bei einer Aufgabe nicht so recht weiter. Es geht darum, aus 4 Düngern D1 ( N:20% P: 60%) D2 (N: 30% P: 30%) D3 (N: 10% P: 60%) und D4 (N: 40% P: 30%) 15 Tonnen neuen Dünger mit N: 20% P: 50% zu mischen. Alle Möglichkeiten sollen bestimmt werden. Da das Thema Matrizen sind, wird man es damit lösen sollen. Soweit mein Ansatz: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 0,2 & 0,3 & 0,1 & 0,4 \\ 0,6 & 0,3 & 0,6 & 0,3 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \\ w \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 7,5 \\ 15 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ In der ersten Matrix zeigen die Zweilen jeweils den Anteil des Düngers: erste Zeile N, zweite Zeile P, dritte Zeile 1 für eine ganze Tonne Dünger. Die Spalten sind dann natürlich die verschiedenen Dünger. Daher steht x,y,z,w auch jeweils für einen Dünger. Das Ergebnis müsste dann ja das gewollte Mischverhältnis N: 20% P: 50% in Tonnen bezogen auf 15 Tonnen sein: 3 Tonnen N; 7,5 Tonnen P und 15 Tonnen Dünger insgesamt. Jetzt weiß ich aber nicht wie ich weiter machen soll, klar mit einem linearen Gleichungssystem. Aber soll ich so oft hin und her addieren bis man alle Variablen x y z w durch eine ausdrücken kann? Dabei gehen doch Lösungen und Zusammenhänge verloren oder nicht? Bin da etwas ratlos
21.09.2009, 13:37	O. Becker	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Sachaufgabe Mischverhältnis beim Thema Matrizen Dieses LGS ist offensichtlich 'unterbestimmt'. Sei also z.B. $\begin{eqnarray} w \end{eqnarray}$ gegeben. Bestimme nun durch elementare Zeilenumformungen $\begin{eqnarray} x,y \ \text{und} \ z \end{eqnarray}$ in Abhängigkeit von $\begin{eqnarray} w \end{eqnarray}$ . Betrachte also statt: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 2 & 3 & 1 & 4 \\ 6 & 3 & 6 & 3 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \\ w \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 30 \\ 75 \\ 15 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ z.B. einfach: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 2 & 3 & 1 \\ 6 & 3 & 6 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 30-4w \\ 75-3w \\ 15-w \end{pmatrix} \end{eqnarray}$
21.09.2009, 15:29	thorbb	Auf diesen Beitrag antworten »
ok also ich hab die Lösung in Abhängigkeit von w jetzt denk ich raus: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 5-w \\ 5-w \\ 5+w \\w \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ [0 </= w </= 5] Aber irgendwie erschließt sich mir das noch nicht ganz von der Logik her... kann man wirklich alle Möglichkeiten in Abhängigkeit von w zeigen? Das würde ja heißen, dass man x, y und z gar nicht unabhängig von w verändern kann, aber das kann man doch, wenn man zum Beispiel etwas weniger x mit etwas mehr y ausgleicht. Oder habe ich da irgendwo einen Denkfehler?

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