Integration durch Substitution?! Wie?

21.09.2009, 14:58

IceTi

Integration durch Substitution?! Wie?

Wie löse ich fogendes Integral? Ich schaffe es einfach nicht... Tipps?

$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~\frac{1+cos(x)}{sin(x)}~dx \end{eqnarray*}$

21.09.2009, 15:02

klarsoweit

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RE: Integration durch Substitution?! Wie?
Wenn einem nichts einfällt, geht in jedem Fall die Substitution $\begin{eqnarray*} u = tan(\frac x 2) \end{eqnarray*}$ . smile

21.09.2009, 15:10

IceTi

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Jau, die habe ich nun auch in meinem Buch gefunden, bringt mich aber Null weiter...

21.09.2009, 15:40

klarsoweit

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Mit etwas Eigeninitiative erkennt man sofort:

$\begin{eqnarray*} sin(x) = sin(2 \cdot \frac{x}{2}) = 2sin(\frac{x}{2}) \cdot cos(\frac{x}{2}) = 2tan(\frac{x}{2}) \cdot cos^2(\frac{x}{2}) = 2 \cdot \frac{tan(\frac{x}{2})}{1+tan^2(\frac{x}{2})} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} cos(x) = cos(2 \cdot \frac{x}{2}) = cos^2(\frac{x}{2}) - sin^2(\frac{x}{2}) = cos^2(\frac{x}{2}) \cdot (1-tan^2(\frac{x}{2})) = \frac{1-tan^2(\frac{x}{2})}{1+tan^2(\frac{x}{2})} \end{eqnarray*}$

Augenzwinkern

21.09.2009, 15:47

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Angesichts des aus dem trigonometrischen Pythagoras folgenden $\begin{eqnarray*} \frac{1+\cos(x)}{\sin(x)} = \frac{\sin(x)}{1-\cos(x)} \end{eqnarray*}$ ist auch die alternative Substitution $\begin{eqnarray*} v=\cos(x) \end{eqnarray*}$ eine Überlegung wert.

22.09.2009, 12:52

IceTi

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Zitat:

Original von Arthur Dent
Angesichts des aus dem trigonometrischen Pythagoras folgenden $\begin{eqnarray*} \frac{1+\cos(x)}{\sin(x)} = \frac{\sin(x)}{1-\cos(x)} \end{eqnarray*}$ ist auch die alternative Substitution $\begin{eqnarray*} v=\cos(x) \end{eqnarray*}$ eine Überlegung wert.

Ne, dass stimmt so aber nicht.... Richtig wäre doch:
$\begin{eqnarray*} 1+\cos^2(x) = sin(x) \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von klarsoweit
Mit etwas Eigeninitiative erkennt man sofort:

$\begin{eqnarray*} sin(x) = sin(2 \cdot \frac{x}{2}) = 2sin(\frac{x}{2}) \cdot cos(\frac{x}{2}) = 2tan(\frac{x}{2}) \cdot cos^2(\frac{x}{2}) = 2 \cdot \frac{tan(\frac{x}{2})}{1+tan^2(\frac{x}{2})} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} cos(x) = cos(2 \cdot \frac{x}{2}) = cos^2(\frac{x}{2}) - sin^2(\frac{x}{2}) = cos^2(\frac{x}{2}) \cdot (1-tan^2(\frac{x}{2})) = \frac{1-tan^2(\frac{x}{2})}{1+tan^2(\frac{x}{2})} \end{eqnarray*}$
Augenzwinkern

... und das muss ich mir nachher nochmal genauer angucken :-)

22.09.2009, 12:57

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Zitat:

Original von IceTi
Ne, dass stimmt so aber nicht.... Richtig wäre doch:
$\begin{eqnarray*} 1+\cos^2(x) = sin(x) \end{eqnarray*}$

Deine Kompetenz ist wirklich bewundernswert. ROFL

Tut mir echt leid, aber für Leute, die mir derart grotesk mathematische Fehler andichten ohne vorher ihr Gehirn eingeschaltet zu haben, kann ich einfach nur Spott übrig haben.

22.09.2009, 13:12

IceTi

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Oh man, sorry wenn du dich nun angegriffen fühlst. Bin mir doch selber nie sicher, deswegen wollte ich mit dem Post eigentlich nur eine Bestätigung, ob es so denn richtig wäre... Tzz

22.09.2009, 13:29

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Ein Ersuchen um Bestätigung, welches mit "Ne, dass stimmt so aber nicht..." anfängt, ist mir neu. Das nächste Mal bitte eine bessere Ausrede.

Wie auch immer, gehe ruhig den Weg der anderen Substitution, führt ja schließlich auch zum Ziel. Wink

22.09.2009, 13:58

IceTi

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Zitat:

Wenn ich das so mache, komme ich auf:

$\begin{eqnarray*} 2 ln(tan\frac{x}{2}) \end{eqnarray*}$

Kann man das nun noch umschreiben? Da laut dem Integrations Rechner folgendes rauskommen muss:

$\begin{eqnarray*} ln(cos(x)-1) \end{eqnarray*}$

22.09.2009, 14:42

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Ob eine Stammfunktion richtig ist, kann man durch probeweises Differenzieren feststellen - ist natürlich nur dann nötig, wenn man Zweifel an der Richtigkeit der eigenen Rechnung hat.

22.09.2009, 17:17

IceTi

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Ist das nun richtig oder falsch? Meine Ableitung bringt mir ein anderes Ergebnis, aber wie gesagt/gefragt kann man das vll. umschreiben????

22.09.2009, 17:41

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$\begin{eqnarray*} \frac{\dd}{\dd x} \left( 2\ln\left( \tan\frac{x}{2} \right) \right) = \frac{2}{\tan\frac{x}{2}} \cdot \frac{1}{\cos^2\frac{x}{2}} \cdot \frac{1}{2} = \frac{2}{2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}} = \frac{2}{\sin(x)} \neq \frac{1+\cos(x)}{\sin(x)} \end{eqnarray*}$

22.09.2009, 19:46

Leopold

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Zitat:

Original von IceTi
Kann man das nun noch umschreiben? Da laut dem Integrations Rechner folgendes rauskommen muss:

$\begin{eqnarray*} ln(cos(x)-1) \end{eqnarray*}$

Vorzeichen! Offenbar ist hier das Argument des Logarithmus $\begin{eqnarray*} \leq 0 \end{eqnarray*}$ !

$\begin{eqnarray*} \int \frac{f'(x)}{f(x)}~\dd x = \ln f(x) \, , \ \ f(x)>0 \end{eqnarray*}$

Setze $\begin{eqnarray*} f(x) = 1- \cos x \, , \ x \in (0,2\pi) \end{eqnarray*}$ .

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