Summe von Lengedresympolen ist =

21.09.2009, 17:37

Zadu

Summe von Lengedresympolen ist =

Und noch eine Aufgabe bei er ich nicht weiter komme.

Beweisen sie die Formel
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n~ \left(\frac{a}{p}\right) = 0 , n=p-1 \end{eqnarray*}$

die klammer ist ein Lengedre-Symbol, a € N, p ist eine Primzahl.

Bis auf die Definition des Lengendr-Symbols habe ich nicht einmal einen Ansatz
abgesehen davon, das offensichtlich keine 0 in der Summe ist.

21.09.2009, 17:53

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Zitat:

Original von Zadu
Beweisen sie die Formel
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n~ \left(\frac{a}{p}\right) = 0 , n=p-1 \end{eqnarray*}$

Nö - da hier über eine Konstante summiert wird, kommt selbstverständlich

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n~ \left(\frac{a}{p}\right) = n\cdot \left(\frac{a}{p}\right) \end{eqnarray*}$

heraus, nicht Null. unglücklich

21.09.2009, 18:11

Zadu

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entschuldigung das mit Latex ist einfach noch nicht so meine sache Hammer

natürlich ist

folgendes gemeint

$\begin{eqnarray*} \sum_{a=1}^n~ \left(\frac{a}{p}\right) =0 \end{eqnarray*}$
n=p-1

21.09.2009, 18:21

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Inhaltlich bedeutet dieses "Summe Null", dass es genauso viele quadratische Reste wie Nichtreste modulo $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ gibt, oder noch anders formuliert: Es gibt genau $\begin{eqnarray*} \frac{p-1}{2} \end{eqnarray*}$ quadratische Reste modulo $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ - versuch doch, das nachzuweisen.

22.09.2009, 20:45

Zadu

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ganau das ist ja das Problem, ich weis einfach nicht in welche Richtung das gehen könnte.

Ich habe ne Weil mit dem Kriterum von Euler und Gauss herumgebastelt aber was sinnvolles ist dabei nicht herausgekommen.

23.09.2009, 07:28

tmo

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Die Gleichung $\begin{eqnarray*} x^2=a \end{eqnarray*}$ hat ein $\begin{eqnarray*} \mathbb Z_p \setminus {0} \end{eqnarray*}$ entweder 0 oder 2 Lösungen. (Beweis von dir)

Hat sie 2 Lösungen, ist a ein quadratische Rest modulo p. Damit ist das Problem fast erschlagen.

23.09.2009, 08:07

Mystic

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Zitat:

Original von tmo
Die Gleichung $\begin{eqnarray*} x^2=a \end{eqnarray*}$ hat ein $\begin{eqnarray*} \mathbb Z_p \setminus {0} \end{eqnarray*}$ entweder 0 oder 2 Lösungen. (Beweis von dir)

Hat sie 2 Lösungen, ist a ein quadratische Rest modulo p. Damit ist das Problem fast erschlagen.

Hm, vielleicht "steh ich auf der Leitung", aber ich seh jetzt im Moment nicht, inwiefern dieser Hinweis hier hilfreich sein könnte...

Der einfachste Beweis, den ich kenne, verwendet die Existenz von Primitivwurzeln mod p, fährt also schon mit einem relativ schweren Geschütz auf...

23.09.2009, 08:47

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Eigentlich gibt es einen sehr einfachen Beweis:

Die Zahlen

$\begin{eqnarray*} 1^2,2^2,\ldots,\left( \frac{p-1}{2} \right)^2 \bmod p \qquad (*) \end{eqnarray*}$

sind offensichtlich quadratische Reste. Dass es keine weiteren gibt, folgt aus $\begin{eqnarray*} (-a)^2 \equiv a^2 \bmod p \end{eqnarray*}$ , damit hat man dann ja alle möglichen Quadrate (außer 0², was hier nicht zählt) betrachtet.

Jetzt ist nur noch nachzuweisen, dass unter den Resten (*) kein Rest mehrfach vorkommt, und das geht sehr leicht indirekt...

23.09.2009, 09:01

Mystic

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Ah ok, bin also dann doch "auf der Leitung gestanden"... unglücklich

23.09.2009, 12:44

Mystic

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Aus algebraischer Sicht kann man das auch so sehen, dass für jede abelsche Gruppe G die Abbildung

$\begin{eqnarray*} f:G \to U \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x \mapsto x^2 \end{eqnarray*}$

wobei $\begin{eqnarray*} U:= \{x^2~|~x \in G\} \end{eqnarray*}$ die Untergruppe der Quadrate von G ist, ein Epimorphismus ist. Ist die Gruppe G weiters endlich und e ihr Einselement, so ist also nach dem Homomorphiesatz U isomorph zu G/Ker f und daher

$\begin{eqnarray*} |U| = \frac {|G|} {|\{x \in G~|~ x^2=e\}} \end{eqnarray*}$

Ist nun G speziell die prime Restklassengruppe $\begin{eqnarray*} \mathbb Z_p^{\ast} \end{eqnarray*}$ für eine ungerade Primzahl p, so hat die Gleichung

$\begin{eqnarray*} x^2 \equiv 1 \mod p \end{eqnarray*}$

genau die 2 Lösungen $\begin{eqnarray*} \pm 1 \end{eqnarray*}$ , d.h.

$\begin{eqnarray*} |U| = \frac {|G|} 2 \end{eqnarray*}$

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