partialbruchzerlegung: einsetzmethode

21.09.2009, 17:58

wergor

partialbruchzerlegung: einsetzmethode

hallo,
ich habe ein problem mit folgender aufgabe:
berechnen sie die partialbruchdarstellung mit hilfe der einsetzmethode:
$\begin{eqnarray*} \frac{x^2+3x-1}{x^2(x^2+1)} \end{eqnarray*}$
ich würde sagen
$\begin{eqnarray*} \frac{x^2+3x-1}{x^2(x^2+1)} = \frac{A}{x}+\frac{B}{x^2}+\frac{Cx+D}{x^2+1} \end{eqnarray*}$
aber näher als $\begin{eqnarray*} B=-1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} D=\frac{3}{2} \end{eqnarray*}$ bin ich damit nicht gekommen (auch mit dem koeffizientenvergleich komme ich nicht weiter)
auch mit ausmultipliziertem zähler komme ich nicht zu korrekten ergebnissen.
bitte um hilfe,
mfg

21.09.2009, 18:06

klarsoweit

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RE: partialbruchzerlegung: einsetzmethode
Dann mußt du schon etwas mehr von deiner Rechnung preisgeben. Hellsehen, wo du einen Fehler machst, können wir nicht. smile

21.09.2009, 18:50

wergor

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ich habe also
$\begin{eqnarray*} x^2+3x-1 = A(x^3+x)+B(x^2+1)+Cx^3+Dx^2 \end{eqnarray*}$
wenn ich 0 einsetze, kommt mal raus, dass B=-1 ist. bei x=1 steht dann
$\begin{eqnarray*} 2A+2B+C+D=3 \end{eqnarray*}$
und bei x=-1
$\begin{eqnarray*} -2A-C+D=-2 \end{eqnarray*}$
aus den beiden habe ich mir dann D=3/2 errechnet, ab da komme ich nicht weiter.
unter verwendung des koeffizientenvergleiches, erhalte ich wieder
$\begin{eqnarray*} x^2+3x-1 = A(x^3+x)+B(x^2+1)+Cx^3+Dx^2 \end{eqnarray*}$ und kann jetzt sagen:
$\begin{eqnarray*} x^3(A+C) = 0 -> A+C=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x^2(D+B) = x^2 -> D+B=1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x*A = 3x --> A = 3 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} B = -1 \end{eqnarray*}$ .
aber $\begin{eqnarray*} \frac{x^2+3x-1}{x^2(x^2+1} =/= \frac{3}{x} -\frac{1}{x^2}+\frac{-3+2x}{x^2+1} \end{eqnarray*}$
bin ich zu blöd oder wo verwirrt

21.09.2009, 21:20

wergor

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Zitat:

Original von wergor
bin ich zu blöd oder wo verwirrt

anscheind. es muss natürlich
$\begin{eqnarray*} \frac{3}{x} -\frac{1}{x^2}+\frac{-3x+2}{x^2+1} \end{eqnarray*}$ heissen Hammer

das problem mit der einsetzmethode ist aber leider noch immer nicht gelöst.

21.09.2009, 21:32

mYthos

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Du brauchst überhaupt keine x-Werte einsetzen, der Koeffizientenvergleich genügt. Dabei kommt:

A + C = 0
B + D = 1
A = 3
B = -1

Was begehrst du mehr?
________________________

Übrigens:
Beim Einsetzen von x = -1 ist dein Fehle!

mY+

22.09.2009, 09:07

klarsoweit

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Zitat:

Original von wergor
und bei x=-1
$\begin{eqnarray*} -2A-C+D=-2 \end{eqnarray*}$

Wirklich?

22.09.2009, 14:26

wergor

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Zitat:

Original von mYthos
Du brauchst überhaupt keine x-Werte einsetzen, der Koeffizientenvergleich genügt. Dabei kommt:

A + C = 0
B + D = 1
A = 3
B = -1

Was begehrst du mehr?
________________________

Übrigens:
Beim Einsetzen von x = -1 ist dein Fehle!

mY+

es hätte mit der einsetzmethode gelöst werden sollen. und ja, bei x=-1 hatte ich einen fehler, ich habe es nochmal versucht und jetzt endlich lösen können.

dafür komme ich jetzt bei der nächsten gleichung nicht mehr weiter.
berechen sie die partialbruchdarstellung durch koeffizientenvergleich:
$\begin{eqnarray*} \frac{4x^5-4x^4-3x^2+1}{(x+1)^2(2x^2+1)^2} \end{eqnarray*}$
das habe ich dann angeschrieben als
$\begin{eqnarray*} \frac{A}{x+1} + \frac{B}{(x+1)^2} + \frac{C}{2x^2+1} + \frac{Dx+E}{(2x^2+1)^2} \end{eqnarray*}$
auf gleichen nenner und schließlich die formeln
$\begin{eqnarray*} C = -4 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 2A+4C+D = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 2A+2B+3C+2D+E = -3 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} A+2C+D+2E = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} A+B+C+E = 2 \end{eqnarray*}$
als ergebnis erhalten, von da an gehts (für mich) nicht weiter unglücklich

ich bekomme ab da keine ergebnisse mehr.

22.09.2009, 15:12

klarsoweit

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Ich würde es mal mit dem Ansatz

$\begin{eqnarray*} ... = \frac{A}{x+1} + \frac{B}{(x+1)^2} + \frac{Cx + D}{2x^2+1} + \frac{Ex+F}{(2x^2+1)^2} \end{eqnarray*}$

versuchen.

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