innere Verknüpfung

21.09.2009, 21:54

noob

innere Verknüpfung

Hi,

mir ist klar, dass eine Gruppe eine innere Verknüpfung ist mit G x G ---> G

für die gelten muss:
(i) Assoziativgesetz (a o b) o c = a o (b o c)
(ii) neutrales Element a o e = e o a = a
(iii) Inverse a o a´ = a´ o a = e

so weit so gut...
nun zu meiner frage...

wenn es eine ínnere Verknüpfung gibt, die nicht eines dieser gesetze erfüllt, dann ist diese Verkbüpfung keine Gruppe. Dann muss ja nur da drauf geachtet werden, dass die Verknüpfung der beiden Elemente a, b aus einer Menge auch in der selben Menge liegt oder?

z.B. die Mengen a,b,c sind Elemente aus M und a o b = c

ist das korrekt??

ja, die frage ist etwas blöd gestellt...ich will nur wissen, ob nur die Gesetze der Unterschied zwichen einer Gruppe und einer inneren Verknüpfung sind....oder ob die innere Verknüpfung ein synonym für Gruppe ist...

lg noob

21.09.2009, 22:58

jester.

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Eine innere Verknüpfung ist eine Abbildung vom kartesischen Produkt einer Menge in die Menge selbst.

Eine Gruppe ist eine Menge mit dieser zugehörigen Verknüpfung.

Ein kleines Beispiel wäre $\begin{eqnarray*} +~:~\mathbb{Z \times Z} \to \mathbb{Z},~(a,b)\mapsto a+b \end{eqnarray*}$ als innere Verknüpfung. Damit ist dann $\begin{eqnarray*} (\mathbb{Z},+) \end{eqnarray*}$ eine Gruppe.

Beantwortet das deine Frage?

21.09.2009, 23:21

Abakus

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Zitat:

Original von jester.
Eine innere Verknüpfung ist eine Abbildung vom kartesischen Produkt einer Menge in die Menge selbst.

Eine Gruppe ist eine Menge mit dieser zugehörigen Verknüpfung.

Ein kleines Beispiel wäre $\begin{eqnarray*} +~:~\mathbb{Z \times Z} \to \mathbb{Z},~(a,b)\mapsto a+b \end{eqnarray*}$ als innere Verknüpfung. Damit ist dann $\begin{eqnarray*} (\mathbb{Z},+) \end{eqnarray*}$ eine Gruppe

Für eine Gruppe wären noch die 3 obigen Gesetze, also Assoziativität, Existenz des neutralen und von inversen Elementen zu fordern. Bei deinem Beispiel ist das alles gegeben, jedoch gibt es auch andere Beispiele ohne diese Eigenschaften.

Nur die Menge mit einer inneren Verknüpfung ergibt ein Gruppoid (oder Magma (Wiki)).

Grüße Abakus smile

22.09.2009, 15:32

jester.

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Das ist natürlich richtig, Abakus. Aber noob hat die Gesetze ja schon angegeben. Es gab ja, denke ich, nur eine Verwirrung bezüglich der Begriffe "Gruppe" und "innere Verknüpfung".

Zudem war $\begin{eqnarray*} (\mathbb{Z},+) \end{eqnarray*}$ natürlich absichtlich als Gruppe gewählt, da für diese Menge und Verknüpfung die Gruppenaxiome erfüllt sind. Augenzwinkern

22.09.2009, 17:21

WebFritzi

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@Abakus:

Zitat:

Original von jester. (abgeändert)
Eine Gruppe ist eine Menge mit einer inneren Verknüpfung.

Diese Aussage ist offenbar richtig.

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