Beweis: Landau-Symbol

22.09.2009, 08:27	eierkopf1	Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis: Landau-Symbol Hallo! Ich habe wieder ein Problem mit einem Beweis in der Linearen Algebra 2. Folgendes gilt und ist mir klar: $\begin{eqnarray} \rho < 1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} v^1 \end{eqnarray}$ ist ein Vektor und $\begin{eqnarray} e^1 \end{eqnarray}$ ist der erste Einheitsvektor, $\begin{eqnarray} k \end{eqnarray}$ ist die Iterationsvariable. $\begin{eqnarray} v^1 = e^1 + \mathcal O(\rho^k) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \\| v^1 \\|^2 = 1 + \mathcal O(\rho^k) \end{eqnarray}$ Nun zieht man die Wurzel: $\begin{eqnarray} \\| v^1 \\| =\sqrt{ 1 + \mathcal O(\rho^k)}=1+\binom{\frac 1 2}{1}\mathcal O(\rho^k) \end{eqnarray}$ Den letzten Schritt verstehe ich nicht ganz. Wie kommt man auf den Binomialkoeffizienten? Ich dachte mir schon wegen folgender Taylorreihe: $\begin{eqnarray} (1+x)^n=\sum_{j=0}^{\infty}~ \binom n j x^j \end{eqnarray}$ Dann sollte gelten: $\begin{eqnarray} (1+\mathcal O(\rho^k))^{\frac 1 2}=\sum_{j=0}^{\infty}~ \binom{\frac 1 2}{ j} \mathcal O(\rho^k)^j=1+\binom{\frac 1 2}{1}\mathcal O(\rho^k)+\binom{\frac 1 2}{2}\mathcal O(\rho^{2k})\dots \end{eqnarray}$ Und da $\begin{eqnarray} \rho < 1 \end{eqnarray}$ ist $\begin{eqnarray} \mathcal O(\rho^k) \end{eqnarray}$ die Funktionenklasse, die am langsamsten gegen 0 konvergiert und damit die ausschlaggebende Funktionenklasse darstellt. Stimmt das?
22.09.2009, 08:40	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis: Landau-Symbol Ja, das ist es.
22.09.2009, 09:22	eierkopf1	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis: Landau-Symbol Danke sehr!
22.09.2009, 09:59	eierkopf1	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis: Landau-Symbol Dann weiter im Beweis, verstehe ich wieder etwas nicht: $\begin{eqnarray} w^1 := \frac{v^1}{\\|v^1\\|} = \frac{ e^1 + \mathcal O(\rho^k)}{1 + \mathcal O(\rho^k)} = (e^1 + \mathcal O(\rho^k))(1 + \mathcal O(\rho^k)) \end{eqnarray}$ Ich verstehe den letzten Schritt nicht. Wie kommt man auf das Produkt?
22.09.2009, 10:04	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Was du oben mit Exponent $\begin{eqnarray} \frac{1}{2} \end{eqnarray}$ gemacht hast, geht auch mit Exponent $\begin{eqnarray} -1 \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} \frac{1}{1 + \mathcal O(\rho^k)} = \left( 1 + \mathcal O(\rho^k) \right)^{-1} \end{eqnarray}$ ...
22.09.2009, 10:11	eierkopf1	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank für die Antwort wieder einmal. Auf das wäre ich alleine nicht draufgekommen. Ich war zu sehr auf die Tatsache fixiert, dass aus einem "Dividiert" ein "Mal" werden kann. Dabei ist es so einfach.
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