Taylorpolynome und -reihen

22.09.2009, 09:30

Der Lustige Peter

Taylorpolynome und -reihen

Geben Sie die Taylorpolynome zweiter Ordnung und die Taylorreihe folgender Funktionen und Entwicklungspunkte a an:
a) $\begin{eqnarray*} e^{x}+\sin(x) \end{eqnarray*}$ bei $\begin{eqnarray*} a=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} T_f(x)=f(0)+f'(0)(x-0)+\frac{f''(0)}{2}(x-0)^{2} = <br /> =2 + (e^0+\cos(0))x+\frac{e^0-\sin(0)}{2}(x-0)^{2}=<br /> =2+x+0=2+x \end{eqnarray*}$
Taylorreihe:
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^\infty~\frac{x^{k}}{k!}+ \sum_{k=0}^\infty~(-1)^{k}\frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!}=\sum_{k=0}^\infty~ \frac{(2k+1)!x^{k}(-i!)^{k}x^{2k+1}}{k!(2k+1)!} \end{eqnarray*}$
b) $\begin{eqnarray*} x^{4}+x^{2} \end{eqnarray*}$ bei $\begin{eqnarray*} a=1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} T_f(x)=a^{4}+a^{2}+(4a^{3}+2a)(x-a)+\frac{12a+2}{2}(x-a)^{2}=1+1+6(x-1)+7(x-1)^{2}=2+6x-6+7x^{2}-14x+7=3-8x+7x^{2} \end{eqnarray*}$
Taylorreihe:
$\begin{eqnarray*} x^{4}+x^{2} \end{eqnarray*}$

Stimmt das so?
Vielen Dank an jeden, der kritisch drüber schaut

22.09.2009, 11:15

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$\begin{eqnarray*} \cos(0)=1, \; \sin(0)=0 \end{eqnarray*}$

Anscheinend hast du gerade diese beiden Werte vertauscht...

22.09.2009, 11:42

Der Lustige Peter

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Okay, vielen Dank Arthur. Nochmal verbessert:
Geben Sie die Taylorpolynome zweiter Ordnung und die Taylorreihe folgender Funktionen und Entwicklungspunkte a an:
a) $\begin{eqnarray*} e^{x}+\sin(x) \end{eqnarray*}$ bei $\begin{eqnarray*} a=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} T_f(x)=f(0)+f'(0)(x-0)+\frac{f''(0)}{2}(x-0)^{2}=1 + (e^0+\cos(0))x+\frac{e^0-\sin(0)}{2}(x-0)^{2}=1+2x+1=1+2x+\frac{1}{2}x^2 \end{eqnarray*}$
Taylorreihe:
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^\infty~\frac{x^{k}}{k!}+ \sum_{k=0}^\infty~(-1)^{k}\frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!}=\sum_{k=0}^\infty~ \frac{(2k+1)!x^{k}(-i!)^{k}x^{2k+1}}{k!(2k+1)!} \end{eqnarray*}$
b) $\begin{eqnarray*} x^{4}+x^{2} \end{eqnarray*}$ bei $\begin{eqnarray*} a=1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} T_f(x)=a^{4}+a^{2}+(4a^{3}+2a)(x-a)+\frac{12a+2}{2}(x-a)^{2}=1+1+6(x-1)+7(x-1)^{2}=2+6x-6+7x^{2}-14x+7=3-8x+7x^{2} \end{eqnarray*}$
Taylorreihe:
$\begin{eqnarray*} x^{4}+x^{2} \end{eqnarray*}$

Stimmt es jetzt?
Vielen Dank an jeden, der kritisch drüber schaut

22.09.2009, 11:50

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Zitat:

Original von Der Lustige Peter
Taylorreihe:
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^\infty~\frac{x^{k}}{k!}+ \sum_{k=0}^\infty~(-1)^{k}\frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!}=\sum_{k=0}^\infty~ \frac{(2k+1)!x^{k}(-i!)^{k}x^{2k+1}}{k!(2k+1)!} \end{eqnarray*}$

Das ist natürlich hanebüchener Unsinn. Eine "Regel" wie

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{\infty} a_k + \sum_{k=0}^{\infty} b_k \stackrel{???}{=} \sum_{k=0}^{\infty} a_kb_k \end{eqnarray*}$

ist so absurd falsch, dass man kein Wort mehr darüber verlieren muss.

Nein, du musst die Koeffizienten zu jeweils $\begin{eqnarray*} x^k \end{eqnarray*}$ in beiden Reihen addieren. Dazu ist zu beachten, dass die zweite Reihe

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^\infty~(-1)^{k}\frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!} \end{eqnarray*}$

erstmal geeignet in die Form $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^\infty a_kx^k \end{eqnarray*}$ (Achtung: x-Exponent!) gebracht werden sollte.

Der Rest ist Ok.

22.09.2009, 12:13

Der Lustige Peter

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Da ist mir wohl ein "+" abhanden gekommen. Tut mir Leid! Zur Sicherheit nochmal mit Zwischenschritt:
Taylorreihe:
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^\infty~\frac{x^{k}}{k!}+ \sum_{k=0}^\infty~(-1)^{k}\frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!}=\sum_{k=0}^\infty~\frac{x^k}{k!}+(-1)^k\frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!}=\sum_{k=0}^\infty~ \frac{(2k+1)!x^{k} >+< (-k!)^{k}x^{2k+1}}{k!(2k+1)!} \end{eqnarray*}$
Oder kann man die Summen nicht so zusammenziehen?

22.09.2009, 12:54

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$\begin{eqnarray*} (-1)^k\cdot k! \end{eqnarray*}$ ergibt NICHT $\begin{eqnarray*} (-k!)^k \end{eqnarray*}$ . Davon abgesehen ist

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{\infty} (a_k x^k + b_kx^{2k-1}) \qquad (*) \end{eqnarray*}$

nicht die Darstellungsart, die man bei einer Potenzreihe erwartet - da sollten die $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ -Potenzen schön ordentlich gebündelt sein zu einem

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{\infty} a_k x^k \end{eqnarray*}$

und nicht so aufgesplittet wie in (*) . unglücklich

22.09.2009, 13:38

Der Lustige Peter

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Aber wie soll ich das anstellen? Außer auszuklammer fällt mir nichts ein, aber das bringt mich hier auch nicht weiter.

22.09.2009, 13:47

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Eigentlich habe ich das oben schon gesagt

Zitat:

Original von Arthur Dent
Dazu ist zu beachten, dass die zweite Reihe

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^\infty~(-1)^{k}\frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!} \end{eqnarray*}$

erstmal geeignet in die Form $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^\infty a_kx^k \end{eqnarray*}$ (Achtung: x-Exponent!) gebracht werden sollte.

aber es ist ja Usus hier im Board, dass man alles wiederholen muss. Konkret, es ist

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^\infty ~ (-1)^{k}\frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!} = \sum_{i=0}^\infty ~ a_i x^i \end{eqnarray*}$

mit

$\begin{eqnarray*} a_i = \begin{cases} \frac{\displaystyle (-1)^{\frac{i-1}{2}}}{\displaystyle i!} & \;\mbox{falls $i$ ungerade} \\[2ex] 0 & \;\mbox{falls $i$ gerade} \end{cases} \end{eqnarray*}$ .

Ohne eine derartige Fallunterscheidung wird es nicht gehen.

22.09.2009, 14:45

Der Lustige Peter

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Angewandt auf den Sinus verstehe ich das schon. Aber wie man die beiden Terme jetzt auch noch mit Fallunterscheidung zusammenziehen soll, will mir immer noch nicht in den Kopf.
Tut mir Leid, wenn ich Umstände mache unglücklich

22.09.2009, 14:49

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Es ergibt sich ein gewisses periodisches Wiederholungsmuster bei den Koeffizienten der Gesamtpotenzreihe, und zwar mit Periode 4 hinsichtlich der Indizes. Mehr sollte ich nach den vorangegangenen Betrachtungen nun wirklich nicht mehr sagen müssen, jetzt bist du an der Reihe.

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