Kurvenintegral/Potential

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f(x) Auf diesen Beitrag antworten »
Kurvenintegral/Potential
Hallo,

wir hatten in der Vorlesung folgenden Satz:

Sei U (Teilmenge von R^n) ein Gebiet.
Wegintegral ist wegunabhängig <=> Zugehörige Vektorfeld besitzt Potential.
In diesem Fall kann man für bel.Punkte P,Q aus U das Kurvenintegral für eine Kurve von P nach Q berechnen, indem man das Potential an beiden Punkten auswertet und die Differenz bildet. Also


Ich wüsste gerne, wie man diesen Satz beweist.

Davor hatten wir den Satz, dass ein Kurvenintegral genau dann wegunabhängig ist, wenn für geschlosseneWege das Wegintegral null ergibt.
Das kann ich aber selber zeigen.

Danke
wogir Auf diesen Beitrag antworten »

Es ist ja



wobei eine parametrisierte Kurve ist (mit Endpunkten und )

hoffe, das hilft dir.
vlg
f(x) Auf diesen Beitrag antworten »

Ahh, danke, aber wo kommt plötzlich das Minuszeichen her?
wogir Auf diesen Beitrag antworten »

ist eig Konventionssache, ich dachte dass p so gewählt ist, dass



Zumindest würde man das in der Physik so machen, geht aber auch andersrum.

Vlg
f(x) Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, prima!
Wenn das Vektorfeld ein Potential besitzt, ist das Wegintegral wegunabhängig und kann mithilfe des Potentials berechnet werden.
Aber wie genau folgt daraus die Umkehrung
"Wegintegral wegunabhängig => v besitzt Potential"?
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Definiere



und zeige, dass dies ein Potential von v ist. Dabei ist a ein Punkt im Gebiet und [a,x] die Strecke von a nach x.
 
 
Sly Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von WebFritzi
Definiere



und zeige, dass dies ein Potential von v ist. Dabei ist a ein Punkt im Gebiet und [a,x] die Strecke von a nach x.


Bei diesem Schritt ist das Gebiet o.B.d.A. sternförmig um a.
Hat man das aber bewiesen, folgt die gewünschte Behauptung auch leicht für den allgemeinen Fall.
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Sly
Zitat:
Original von WebFritzi
Definiere



und zeige, dass dies ein Potential von v ist. Dabei ist a ein Punkt im Gebiet und [a,x] die Strecke von a nach x.


Bei diesem Schritt ist das Gebiet o.B.d.A. sternförmig um a.


Das "o.B.d.A." macht hier wenig Sinn. Und die Sternförmigkeit des Gebietes hast du bei den Poincaréschen Gleichungen - aber nicht hier.
Sly Auf diesen Beitrag antworten »

Und inwiefern macht dann deine Funktion einen Sinn?
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Überleg es dir selbst. Ich habe sie eindeutig definiert.
Sly Auf diesen Beitrag antworten »

...eindeutig, aber nicht überall sinnvoll. Ist das Gebiet nicht sternförmig um a, macht die Definition nicht für alle x einen Sinn.
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

OK, du hast recht. Dann soll [a,x] eben irgendein Weg von a nach x sein. Das geht, da wir in einem Gebiet sind. Und die Definition ist trotzdem sinnvoll, weil wir Wegunabhängigkeit voraussetzen.
f(x) Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,
ich habe noch nicht verstanden, warum das p(x) in deiner Definition ein Potential definiert.
Und wozu braucht man die Wegunabhängigkeit?
Danke
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Satz 3 auf Seite 184:

http://books.google.com/books?id=PLlCc8A...page&q=&f=false

(Eine 1-Form ist hier nichts anderes als ein Vektorfeld.)
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