Totale Differenzierbarkeit

22.09.2009, 13:53

calyampudi

Totale Differenzierbarkeit

Guten Tag.

Es geht um folgende Aufgabe:

Sei $\begin{eqnarray*} A \in \mathbb R^{nxn} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f: \mathbb{R}^{n} -> \mathbb{R}^{n}, f(x)=Ax+xv(x), \end{eqnarray*}$ wobei $\begin{eqnarray*} v: \mathbb{R}^{n} -> \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ stetig ist.
Zu zeigen: f ist in 0 total differenzierbar; Df(0) berechnen.

Wissen hier gar nicht wie wir anfangen sollen, wäre schön wenn uns jemand Tipps gegen könnte.

22.09.2009, 15:57

Leopold

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Der Teil $\begin{eqnarray*} x \mapsto Ax \end{eqnarray*}$ ist harmlos, es geht also vor allem um die Funktion $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ mit

$\begin{eqnarray*} g(x) = x \cdot v(x) \, , \ \ x \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$

Einmal angenommen, $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ ist nicht nur stetig, sondern sogar differenzierbar, kann man (mit $\begin{eqnarray*} E \end{eqnarray*}$ als Einheitsmatrix) zeigen:

$\begin{eqnarray*} g'(0) = v(0) \cdot E \end{eqnarray*}$

Damit versucht man es dann auch im Fall, daß $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ nur als stetig vorausgesetzt ist. Man untersucht daher den Quotienten

$\begin{eqnarray*} \frac{\| g(x) - g(0) - v(0) \cdot E \cdot x \|}{\| x \|} \ \ \mbox{für} \ \ x \to 0 \end{eqnarray*}$

wo die Doppelstriche eine beliebige Norm bezeichnen.

22.09.2009, 18:16

calyampudi

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Danke für die Antwort, damit sehe ich schon eine ganze Menge mehr.

Ich habe dann Folgendes, wäre nett wenn sich das auch mal jemand anguckt wobei ich da mehr Wert auf sachliche Richtigkeit als auf Formales lege Augenzwinkern

Es ist gezeigt dass Df(0) existiert, wenn ich gezeigt habe dass die einzelnen Summanden differenzierbar sind.

Mit $\begin{eqnarray*} h(x)=Ax \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g(x)=x*v(x) \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} Dh(x)=A \end{eqnarray*}$ , eine lineare Funktion lässt sich natürlich nur mit sich selbst am besten linear approximieren.

Falls auch g differenzierbar ist, dann ist mit 1_n=Einsvektor (müsste es nicht der statt der E sein?):

$\begin{eqnarray*} Dg(x)=1_n*v(x)+x*v'(x) \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} Dg(0)=1_n*v(0)+0*v'(0)=1_n*v(0) \end{eqnarray*}$

Um zu zeigen dass 1n*v(0) die Ableitung von g in 0 ist (die damit insbesondere existiert) muss mit h aus dem R^n gelten:

$\begin{eqnarray*} g(0+h)=g(0)+Dg(0)h+o(||h||) \end{eqnarray*}$ <=> $\begin{eqnarray*} \frac{||g(h)-g(0)-1n*v(0)*h||}{||h||} -> 0 (h -> 0) \end{eqnarray*}$ .

Das ist erfüllt, weil:

$\begin{eqnarray*} \frac{||g(h)-g(0)-1n*v(0)*h||}{||h||} = \frac{ ||h*v(h)-0*v(0)-h*v(0)||}{||h||} = |v(h)-v(0)| \frac{||h||}{||h||} = |v(h)-v(0)| -> v(0)-v(0) = 0 (h->0) \end{eqnarray*}$ , denn v ist stetig.

Insgesamt:

$\begin{eqnarray*} Df(0)=Dh(0)+Dg(0)=A+0=A \end{eqnarray*}$ .

22.09.2009, 23:53

WebFritzi

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Zitat:

Original von calyampudi
1_n=Einsvektor (müsste es nicht der statt der E sein?):

Nein, die Einheitsmatrix ist schon richtig. Sonst wäre das, was du da gerechnet hast, auch falsch. Augenzwinkern

23.09.2009, 11:39

calyampudi

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Ok, dann gucke ich mir das nochmal an. Dankeschön.

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