Extremwertaufgaben zylinder / Kegel

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22.09.2009, 15:31	PaddyTyson	Auf diesen Beitrag antworten »
Extremwertaufgaben zylinder / Kegel Also Aufgabe ist 1. Welcher von allen Zylindern die man einem geraden Kreiskegel einbeschreibt, hat die größte Mantelfläche? und 4. Einer Halbkugel ist der Inhaltsgrößte auf der spitze stehender gerader Kreiskegel einbeschrieben... Größtes Volumen des Kreiskegels! Beides soll allgemein nur mit Variablen berechnet werden hab schon 3 andere Aufgaben gelöst hier komme ich aber nicht auf die Zielfunktion weil die Nebenbedinungungen unklar sind könnte mir schnellstmöglich einer diese schreiben? Komme sont nicht weiter edit (Mazze) : Hilfe ist kein guter Titel, Titel geändert
22.09.2009, 16:02	Mazze	Auf diesen Beitrag antworten »
Zu erstens : Die Mantelfläche des Zylinders ist von der Höhe und dem Radius des Zylinders abhängig. Was konstant ist, ist die Höhe und der Radius des Kreiskegels. Nennen wir sie $\begin{eqnarray} h_0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} r_0 \end{eqnarray}$ . Der Zusammenhang zwischen Höhe und Radius des Zylinders kann abhängig von $\begin{eqnarray} r_0,h_0 \end{eqnarray}$ ausgedrückt werden. Ist U der Umfang des Kreises der Grundfläche des Zylinders , dann ist die Mantelfläche M gleich dem Produkt von U und der Höhe des Zylinders. Hier kann man denke ich wohl davon ausgehen dass der Zylindermittelpunkt gleich dem Kreiskegelmittelpunkt ist. Den Umfang U drückst Du dann abhängig vom Radius r des Zylinders aus. Die Höhe des Zylinders ergibt sich dann in Abhängigkeit aus $\begin{eqnarray} r,r_0,h_0 \end{eqnarray}$ . Damit kannst Du eine Zielfunktion von r definieren und die Mantelfläche maximieren. Wahlweise könntest Du auch den Radius r als Funktion der der Höhe des Zylinders definieren. zu zweitens: Hier Funktioniert es ähnlich. Du hast den Radius $\begin{eqnarray} r_0 \end{eqnarray}$ der Kugel. Der Kreiskegel ist eindeutig durch Höhe und Radius bestimmt. Wenn du einen Radius r wählst , ist die Höhe wieder durch $\begin{eqnarray} r,r_0 \end{eqnarray}$ eindeutig festgelegt. Damit baust Du dir wieder eine Funktion von r und Maximierst das Volumen.
22.09.2009, 16:09	PaddyTyson	Auf diesen Beitrag antworten »
So weit war ich vom verständnis auch schon aber das umstellen um auf die Zielfunktion zu kommen fällt mir irgendwie schwer weils nur variabeln sind ohne zahlenwerte -.-
22.09.2009, 16:16	Mazze	Auf diesen Beitrag antworten »
Du meinst wohl Parameter . Fang doch mal an, Du weisst folgendes : bei a) etwa : Höhe des Kreiskegels : $\begin{eqnarray} h_0 \end{eqnarray}$ Radius des Kreiskegels : $\begin{eqnarray} r_0 \end{eqnarray}$ Umfang der Zylindergrundfläche : $\begin{eqnarray} U(r) = 2\pi \cdot r \end{eqnarray}$ Mantelfläche des Zylinders : $\begin{eqnarray} U(r) h(r) \end{eqnarray}$ Hierbei bezeichnet $\begin{eqnarray} h(r) \end{eqnarray*}$ die Höhe des Zylinders in Abhängigkeit vom Radius des Zylinders. Und hier ist im Prinzip das einzige wo man wirklich nachdenken muss. Hier hilft eine Zeichnung. Wenn wir den Radius r haben, wie hoch ist dann der Zylinder? Wenn Du das hast ist die Aufgabe erledigt.
22.09.2009, 16:25	PaddyTyson	Auf diesen Beitrag antworten »
Und bei der 2ten aufgabe? Hab die a jetzt auch wenns trotz erklärung noch kompliziert war weil ichs komplizierter rechnen muss xD
22.09.2009, 16:29	Mazze	Auf diesen Beitrag antworten »
Also ich fand die Lösung für a jetzt nicht wirklich kompliziert. Was die zweite Aufgabe angeht : Schreib doch mal auf was Du hast und was Du suchst, dann kommt vieles von selber.
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22.09.2009, 17:10	PaddyTyson	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich muss das ja so aufschreiben das ich ne Hauptfunktion habe die nebenbedingungen dazuschreiben zu einer zielfunktion zusammenfassen das ganze ordentlich ableiten und komplette schreibweise... Das schonmal viel mehr als deine 3 sätze Erklärung
22.09.2009, 17:12	Mazze	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Hauptfunktion für die erste Aufgabe habe ich dir fast hingeschrieben, nämlich $\begin{eqnarray} M(r) = U(r) \cdot h(r) \end{eqnarray}$ Deine Aufgabe war es nur noch die Funktion $\begin{eqnarray} h(r) \end{eqnarray}$ aufzuschreiben. Und genauso wie ich es in erstens gemacht habe gehts auch in zweitens. Wenn man die Funktion hat , ist alles andere ja nur noch rechnen.
22.09.2009, 17:16	PaddyTyson	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja aber hab das alles länger nich gemacht Abivorbereitung und ka da fällt einem Rechnen schonmal schwer besonders wenn alles so genau sein muss...!
22.09.2009, 17:31	PaddyTyson	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Aufgaben löst man übrigens indem man mit Strahlensätzen die Nebenbedingung rausbekommt hat mir gerade ein Freund erklärt... Muss sagen das war mir jetzt ne größere Hilfe...
22.09.2009, 17:35	Mazze	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habs ohne Strahlensätze gemacht . Du wirst von mir keine Komplettlösung erhalten, sowie von keinem Anderen hier. Ich habe dir alles gegeben was man zur Lösung braucht. Die einzige Schwierigkeit war die Höhe des Zylinders in Abhängigkeit des Radius auszudrücken. Das geht auch mit dem Strahlensatz, aber versuchen sollte man es schonmal.
22.09.2009, 17:46	PaddyTyson	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn ich $\begin{eqnarray} M(x)= 2 \pi x(h- \frac{hx}{r} ) \end{eqnarray}$ Ableite kommt bei mir das raus $\begin{eqnarray} M(x)= h\pi \frac{2hx}{r} \end{eqnarray*}$ aber das scheint mir nicht richtig zu sein... Fehler?
22.09.2009, 17:50	Mazze	Auf diesen Beitrag antworten »
Deine Zielfunktion ist richtig! (Unter der Maßgabe das dein h die Höhe des Kegels und dein r der Radius des Kegels ist). Deine Ableitung ist aber falsch. Ich würde M(x) so schreiben: $\begin{eqnarray} M(x) = -\frac{2\pi h}{r}x^2 + 2\pi r x \end{eqnarray}$ Jetzt nach x ableiten. edit: Den Fehler im Zähler korrigiert!
22.09.2009, 17:55	PaddyTyson	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay dann müsste das ja leicht sein danke! M´(x)= $\begin{eqnarray} - 2\frac{h}{r} x + \pi r \end{eqnarray}$ Richtig?
22.09.2009, 17:56	Mazze	Auf diesen Beitrag antworten »
Also ableiten kannst Du ja. Leider kam mein edit zu spät. Ich hatte falsch ausmultipliziert. Richtig ist $\begin{eqnarray} M(x) = -\frac{2\pi h}{r}x^2 + 2\pi r x \end{eqnarray}$ die Ableitung ist $\begin{eqnarray} M'(x) = -\frac{4\pi h}{r}x + 2\pi r \end{eqnarray}$ Damit gehts weiter
22.09.2009, 18:18	PaddyTyson	Auf diesen Beitrag antworten »
x= $\begin{eqnarray} 0.5 r^{2}h \end{eqnarray}$ Müsste richtig sein?
22.09.2009, 18:23	Mazze	Auf diesen Beitrag antworten »
Jetzt bin ich an einem Punkt wo ich mal um Entschuldigung bitten muss. Ich habe immernoch nicht richtig ausmultipliziert $\begin{eqnarray} 2 \pi x(h- \frac{hx}{r} ) = -\frac{2 \pi h}{r}x^2 + 2\pi h x \end{eqnarray}$ Auf dem Papier hab ichs richtig, aber beim Abtippen hab ichs vergessen. Du hast aber die falsche Gleichung richtig umgestellt . Mit obiger Änderung ist die Lösung $\begin{eqnarray} x = \frac{1}{2}r \end{eqnarray*}$ da sich das h dann rauskürzt. Du solltest das aber selbst nochmal nachvollziehen. Und Du darfst mich gerne Korrigieren wenn ich falsch ausmultipliziere
22.09.2009, 18:32	PaddyTyson	Auf diesen Beitrag antworten »
dann hab ich ja garkein x mehr wennn ich Ableite?
22.09.2009, 18:38	PaddyTyson	Auf diesen Beitrag antworten »
Du hast wieder einen fehler gemacht du hast x anstatt x² Dann komm ich aber auch auf x= 0,5 r
22.09.2009, 18:50	Mazze	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenigstens einer der hier richtig rechnet. Das x^2 editier ich gleich. Jetzt kennst Du den Radius des optimalen Zylinders, jetzt musst Du nur noch die Höhe dazu ausrechnen. Das ist aber leicht
22.09.2009, 18:58	PaddyTyson	Auf diesen Beitrag antworten »
Für mich anscheind nicht bei mir bleibt immer ein h übrig -.-
22.09.2009, 19:02	Mazze	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist ja auch richtig. Du willst ja für ganz allgemeine Kegel das Ganze berechnen. Zunächst müsstest Du überprüfen das $\begin{eqnarray} x = \frac{1}{2}r \end{eqnarray}$ wirklich ein maximum ist. Das ist aber kein Problem. Danach betrachtest Du $\begin{eqnarray} h(x) = -\frac{h}{r}x + h \end{eqnarray}$ Dies ist die Funktion die die Höhe des Zylinders in Abhängigkeit vom Radius angibt. Den Radius hast Du schon berechnet. Du musst jetzt nur noch einsetzen und umstellen. Bedenke das Du nicht nach h umstellst, denn h ist die Höhe des Kegels.
22.09.2009, 19:09	PaddyTyson	Auf diesen Beitrag antworten »
Hä was habsch den jetzt eben gemacht ich hab h= 0,25r raus das ja dann falsch... wieso müssen Variabeln immer so ähnlich sein -.-
22.09.2009, 19:14	Mazze	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Funktion für die Höhe ist wie gesagt $\begin{eqnarray} h(x) = -\frac{h}{r}x + h \end{eqnarray}$ Wir müssen eine andere Variable für die Höhe des Zylinders einführen, da Du ja für die Kegelhöhe schon h hast. Daher nenne ich diese y. Dann ist $\begin{eqnarray} y = -\frac{h}{r}\frac{1}{2}r + h = \frac{1}{2}h \end{eqnarray}$ Das heisst der optimale Zylinder hat den Radius 0.5r und die Höhe 0.5h
22.09.2009, 19:17	PaddyTyson	Auf diesen Beitrag antworten »
Habs jetzt auch danke! Zum glück hab ich noch lange zum üben

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