Koord.darstellung - Vergleich zweier Methoden

22.09.2009, 13:55

Demosthenes

Koord.darstellung - Vergleich zweier Methoden

Hallo, liebe matheboardler.
Es geht um lineare Abbildungen und die Frage, warum ich durch zwei verschiedene Methoden auf dieselbe Darstellung eines Sachverhaltes komme.
Konkret:
Ich betrachte die lineare Abbildung $\begin{eqnarray*} \varphi \colon V \rightarrow W \end{eqnarray*}$ von einem 3-dim. Vektorraum V zu dem 2-dim. Vektorraum W. Die Basis von V ist $\begin{eqnarray*} B=\{ b_1, b_2, b_3 \} =\left\{ \begin{pmatrix} \nu_1 \\ \nu_2 \\ \nu_3 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} \xi_1 \\ \xi_2 \\ \xi_3 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} \eta_1 \\ \eta_2 \\ \eta_3 \end{pmatrix} \right\} \end{eqnarray*}$ und die Basis von W ist $\begin{eqnarray*} C = \{ c_1, c_2 \} = \left\{ \begin{pmatrix} \delta_1 \\ \delta_2 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} \sigma_1 \\ \sigma_2 \end{pmatrix} \right\} \end{eqnarray*}$ .
Weiters sei $\begin{eqnarray*} \lambda_1 b_1 + \lambda_2 b_2 + \lambda_3 b_3 = v \in V \end{eqnarray*}$ mit der Koord.darstellung bzgl. B als $\begin{eqnarray*} [v]_B=\begin{pmatrix} \lambda_1 \\ \lambda_2 \\ \lambda_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \tau_1 c_1 + \tau_2 c_2 = w = \varphi(v) \end{eqnarray*}$ mit der Koord.darstellung bzgl. C als $\begin{eqnarray*} [w]_C=\begin{pmatrix} \tau_1 \\ \tau_2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Wenn man nun $\begin{eqnarray*} [w]_C = [\varphi(v)]_C \end{eqnarray*}$ aus $\begin{eqnarray*} [v]_B \end{eqnarray*}$ berechnen will, dann kann man - das wird ja in jedem LinAlg-Buch bewiesen - die Koordinatendarstellung des Bildes jedes Basisvektors von B berechnen, zu einer Matrix $\begin{eqnarray*} A=[\varphi]_{B,C} \end{eqnarray*}$ zusammenfassen und durch die Matrixmultiplikation $\begin{eqnarray*} A \cdot [v]_B = [\varphi(v)]_{C} \end{eqnarray*}$ das gesuchte Ergebnis erhalten.

Das wäre die 1. Methode um das Gewünschte zu erhalten. Bevor ich zur zweiten Methode und eigentlichen Frage gelange, gebe ich noch die Koord.darstellung der Bilder der Basisvektoren an, weil ich das später zum Vergleich brauche.
$\begin{eqnarray*} \varphi(b_1) = \begin{pmatrix} \alpha_1 \\ \alpha_2 \end{pmatrix} \Rightarrow \text{Lösen des LGS } \varphi(b_1) = \mu_1 c_1 + \mu_2 c_2 \, \text{nach $\mu_1$ und $\mu_2$} \Rightarrow [\varphi(b_1)]_C = \begin{pmatrix} \mu_1 \\ \mu_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{\alpha_1 \sigma_2 - \alpha_2 \sigma_1}{\delta_1 \sigma_2 - \delta_2 \sigma_1} \\ \frac{\alpha_2 \delta_1 - \alpha_1 \delta_2}{\delta_1 \sigma_2 - \delta_2 \sigma_1} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \varphi(b_2) = \begin{pmatrix} \beta_1 \\ \beta_2 \end{pmatrix} \Rightarrow [\varphi(b_2)]_C = \begin{pmatrix} \mu_3 \\ \mu_4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{\beta_1 \sigma_2 - \beta_2 \sigma_1}{\delta_1 \sigma_2 - \delta_2 \sigma_1} \\ \frac{\beta_2 \delta_1 - \beta_1 \delta_2}{\delta_1 \sigma_2 - \delta_2 \sigma_1} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \varphi(b_3) = \begin{pmatrix} \gamma_1 \\ \gamma_2 \end{pmatrix} \Rightarrow [\varphi(b_3)]_C = \begin{pmatrix} \mu_5 \\ \mu_6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{\gamma_1 \sigma_2 - \gamma_2 \sigma_1}{\delta_1 \sigma_2 - \delta_2 \sigma_1} \\ \frac{\gamma_2 \delta_1 - \gamma_1 \delta_2}{\delta_1 \sigma_2 - \delta_2 \sigma_1}\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Das Ergebnis ist dann $\begin{eqnarray*} [\varphi(v)]_C = A \cdot [v]_B = \begin{pmatrix} \mu_1 & \mu_3 & \mu_5 \\ \mu_2 & \mu_4 & \mu_6 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} \lambda_1 \\ \lambda_2 \\ \lambda_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

Und nun zur 2. Methode, die etwas unpraktischer ist, aber dennoch zum Ziel führt.
Es ist ja aufgrund der Linearität $\begin{eqnarray*} \varphi(v) = \lambda_1 \varphi(b_1) + \lambda_2 \varphi(b_2) + \lambda_3 \varphi(b_3) \end{eqnarray*}$ .
Man kann nun einfach das LGS
$\begin{eqnarray*} \lambda_1 \begin{pmatrix} \alpha_1 \\ \alpha_2 \end{pmatrix} + \lambda_2 \begin{pmatrix} \beta_1 \\ \beta_2 \end{pmatrix} + \lambda_3 \begin{pmatrix} \gamma_1 \\ \gamma_2 \end{pmatrix} = \tau_1 \begin{pmatrix} \delta_1 \\ \delta_2 \end{pmatrix} + \tau_2 \begin{pmatrix} \sigma_1 \\ \sigma_2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
nach $\begin{eqnarray*} \tau_1, \tau_2 \end{eqnarray*}$ auflösen.

Nachdem ich Mathematica den Job hab machen lassen kommen als Lösungen
$\begin{eqnarray*} \tau_1 = - \frac{\lambda _1 \alpha_2 \sigma_1 + \beta_2 \lambda_2 \sigma_1 + \gamma_2 \lambda_3 \sigma_1 - \lambda_1 \alpha_1 \sigma_2 - \beta_1 \lambda_2 \sigma_2 - \gamma_1 \lambda_3 \sigma_2}{\delta_1 \sigma_2 - \delta_2 \sigma_1} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \tau_2 = \frac{\alpha_2 \delta_1 \lambda_1 - \alpha_2 \delta_1 \lambda_1 + \beta_2 \delta_1 \lambda_2 - \beta_1 \delta_2 \lambda_2 + \gamma_2 \delta_1 \lambda_3 - \gamma_1 \delta_2 \lambda_3}{\delta_1 \sigma_2 - \delta_2 \sigma_1} \end{eqnarray*}$
raus.
Durch Sortieren und Herausheben kann man das umschreiben zu
$\begin{eqnarray*} \tau_1 = \lambda_1 \mu_1 + \lambda_2 \mu_3 + \lambda_3 \mu_5 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \tau_2 = \lambda_1 \mu_2 + \lambda_2 \mu_4 + \lambda_3 \mu_6 \end{eqnarray*}$

Das heißt man kann es wiederum wie oben in der Darstellung
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} \tau_1 \\ \tau_2 \end{pmatrix} = A \cdot [v]_B = \begin{pmatrix} \mu_1 & \mu_3 & \mu_5 \\ \mu_2 & \mu_4 & \mu_6 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} \lambda_1 \\ \lambda_2 \\ \lambda_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
anschreiben.

Das verwundert mich jetzt ein wenig. Ich hätte zwar erwartet, dass wenn man Zahlenwerte einsetzt, bei beiden Methoden derselbe Koordinatenvektor rauskommt, weil man ja jedem Vektor eindeutig einen Koordinatenvektor zuordnen kann. Aber ich frage mich, warum man durch beide Methoden auf dieselbe Darstellung, d.h. als Produkt aus Matrix und Vektor gelangt.
Ist es Zufall, dass man auf beiden Wegen zur selben Darstellung gelangt, oder steckt da vielleicht mehr dahinter? Ich war bis jetzt leider noch nicht in der Lage dahinter was zu sehen, deshalb wende ich mich an euch.

Die Tatsache, dass man auf beiden Wegen zum Ziel kommt, legt mir die Vermutung nahe, dass man dieses Beispiel der Methode 2 (mit dem LGS) vielleicht verallgemeinern könnte und so den Beweis, den man in den einführenden LinAlg-Büchern sieht und direkt zur Methode 1 führt, auf eine etwas andere Art zu vollziehen. Aber das dürfte, falls überhaupt möglich, doch sehr kompliziert werden, oder? Oder kann man es gar nicht verallgemeinern, weil ich hier von Vektorräumen ausgehe, die dem $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^3 \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^2 \end{eqnarray*}$ ähneln ("klassische" Tripe bzw. Paarel als Basisvektoren), ausgehe? Zum Beispiel bei einem Vektorraum U mit der Basis $\begin{eqnarray*} D=\{1, x , x^2\} \end{eqnarray*}$ könnte man kein LGS mehr aufstellen und dann fällt der Versuch flach.

Verzeihung für die Textflut. Ich freue mich über jeden der bisher gelesen hat und seine Gedanken beisteuert. smile

Lg,

22.09.2009, 15:15

jester.

Auf diesen Beitrag antworten »

Zwei allgemeine Gedanken zu deinen Ausführungen: Die Gestalt des Vektorraums (also das, was du mit "Ähnlichkeit" zu $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^n \end{eqnarray*}$ bereichnest) ist erstmal nicht so erheblich, denn jeder Vektorraum gleicher Dimension über einem fest gewählten Körper ist isomorph.
Wie in deinem Beispiel: $\begin{eqnarray*} \langle 1,X,X^2,X^3 \rangle = \mathbb{R}[X]_{\text{Grad}<4} \cong \mathbb{R}^{4\times 1} \cong \mathbb{R}^{1 \times 4} \cong \mathbb{R}^{2\times 2} \end{eqnarray*}$ .

Zudem ist es noch ganz wichtig, dass eine Basis nie eine Menge ist, sondern immer ein geordnetes Tupel von Basisvektoren, da sonst die Reihenfolge der Basiselemente nicht mehr eindeutig ist und so auch keine eindeutigen Koordinaten bezüglich dieser Basis angegeben werden könnten.

Ansonsten hast du doch selber gesehen, dass deine Vorgehensweisen zum selben Ziel führen. Beide Male hast du Darstellungen der Bilder der $\begin{eqnarray*} b_i \end{eqnarray*}$ bezüglich der Basis $\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ als Linearkombination gefunden. Da diese Koordinatendarstellung eindeutig ist, sind die Ergebnisse gleichwertig.

22.09.2009, 16:03

Demosthenes

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von jester.
Zudem ist es noch ganz wichtig, dass eine Basis nie eine Menge ist, sondern immer ein geordnetes Tupel von Basisvektoren, ...

Stimmt, auf sowas muss man achten. Leider hab ich's nicht hingeschrieben, aber ich hab das immer im Hinterkopf.

Zitat:

Ansonsten hast du doch selber gesehen, dass deine Vorgehensweisen zum selben Ziel führen. Beide Male hast du Darstellungen der Bilder der $\begin{eqnarray*} b_i \end{eqnarray*}$ bezüglich der Basis $\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ als Linearkombination gefunden. Da diese Koordinatendarstellung eindeutig ist, sind die Ergebnisse gleichwertig.

Ja, gesehen hab ich, dass es aufs selbe rauskommt. Ich frage mich jetzt nur, ob es da einen Zusammenhang gibt oder ob man das einfach so hinnehmen muss.
Naja, und ich hab nur beim ersten Mal die Darstellung der Bilder der $\begin{eqnarray*} b_i \end{eqnarray*}$ explizit berechnet. Bei der zweiten Methode, hab ich den Vektor $\begin{eqnarray*} \varphi(v) \end{eqnarray*}$ betrachtet, wobei dann wieder jene Elemente $\begin{eqnarray*} \mu_i \end{eqnarray*}$ aufgetaucht sind, die auch in den Darstellungen der Bilder der Basisvektoren vorkommen.

Das heißt also, dass man auch mit Hilfe der zweiten Methode die Gleichung $\begin{eqnarray*} [\varphi(v)]_C=A\cdot [v]_B \end{eqnarray*}$ beweisen kann?
Kannst du mir bitte dabei helfen? Weiß grad nicht, wie ich da anfangen soll.

P.S.: kann erst wieder morgen antworten

22.09.2009, 17:29

jester.

Auf diesen Beitrag antworten »

Natürlich sind wieder die passenden $\begin{eqnarray*} \mu_{i} \end{eqnarray*}$ aufgetaucht, du hast ja wieder die passende Kombination der $\begin{eqnarray*} \alpha_i,\beta_i,\gamma_i \end{eqnarray*}$ gesucht (und gefunden).

Du hast ein einfaches lineares Problem gelöst. Die erste Methode ist nur etwas raffinierter, da sie für beliebige Vektoren m.E. bequemer durchzuführen ist, als jedes Mal die etwas länglichere Methode 2.

Ich bin mir gerade nicht ganz sicher, ob ich dir deine Frage damit genau beantworte, da ich dein Problem nicht ganz erkennen kann...

23.09.2009, 12:52

Demosthenes

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von jester.
Natürlich sind wieder die passenden $\begin{eqnarray*} \mu_{i} \end{eqnarray*}$ aufgetaucht, du hast ja wieder die passende Kombination der $\begin{eqnarray*} \alpha_i,\beta_i,\gamma_i \end{eqnarray*}$ gesucht (und gefunden).

Achso, du meinst, weil ich wieder die selben Variablen benutze, auf die gleiche Formel kommen muss? Naja, mMn muss das nicht zwangsweise zur selben Formel führen. Vielleicht gibts ja eine Formel, die zwar die gleichen Variablen benutzt und auch korrekte Ergebnisse liefert, aber in ihrer Gestalt nicht identisch ist mit der anderen Gleichung.

Zitat:

Die erste Methode ist nur etwas raffinierter, da sie für beliebige Vektoren m.E. bequemer durchzuführen ist, als jedes Mal die etwas länglichere Methode 2.

Es bleibt immer noch die Frage offen, ob sich die 2. Methode zu einem Beweis der Berechnung mittels Matrixmultiplikation ausbauen lässt.

Neue Frage »

Antworten »

Koord.darstellung - Vergleich zweier Methoden

Verwandte Themen