Frage zu Epsilon-Delta-Kriterium

22.09.2009, 15:56

mathenovize

Frage zu Epsilon-Delta-Kriterium

Hallo,

sitze (malwieder) vor Mathe. Hab mir selbst geschworen hier erst wegzugehen, wenn ich das Epsilon-Delta-Kriterium verstanden habe und das Essen ist aus. Antworten vor 23 Uhr bevorzugt.

Ich versuche folgenden Beweis nachzuvollziehen.

$\begin{eqnarray*} f(-1,1) -> R.,x -> \frac{x^2+1}{x^2-2} \end{eqnarray*}$

Dann wird gesagt:

$\begin{eqnarray*} |f(x)-f(y)| <= |\frac{x^2+1}{x^2-2} - \frac{y^2+1}{y^2-2}| \end{eqnarray*}$

So, was hat das ganze mit Epsilon und Delta zutun? Ich dachte gesucht wird eine Darstellung von Epsilon durch n*Delta oder Delta durch n*Epsilon. Hat mein genialer Uebrungsgruppenleiter vielleicht schon was vorweggenommen?

Die naechste Zeile lautet dann:

$\begin{eqnarray*} | \frac{(x^2+1)(y^2-2)-(y^2+1)(x^2-2)}{|(x^2-2)(y^2-2)|} \end{eqnarray*}$

Da hat er die Brueche jeweils auf einen nenner gebracht. Ich frage mich nur warum er den Nenner auch in Betragsstriche setzt. Welche lustige Rechenregel ist das?

Dann schaetzt er den Nenner auf >=1 ab und laesst ihn einfach wegfallen. Dass eins das neutrale Element der Division ist ist mir klar, aber macht er es sich da nicht etwas einfach? Wenn ich z.B. x=y=0,8 waehle ist das kleiner als 1. Warum kann er das dann noch als >= abschaetzen?

Dann multipliziert er aus und bekommt (habe es mit mehr Zwischenschritten nachgerechnet) folgendes raus:

$\begin{eqnarray*} <= |-3x^2+3y^2| \end{eqnarray*}$

Dann mit dritter Binomischer Formel und man bekommt:

$\begin{eqnarray*} 3*|y-x|*|y+x| \end{eqnarray*}$

So jetzt kommt der naechste obskure Punkt, den ich nicht verstehe. Da wird jetzt abgeschaetzt dass mit Definitionsbereich x+y immer <=2 ist. Das stimmt ja auch so. Aber wieso kann er das dann durch 2 ersetzen und dann schreiben:

$\begin{eqnarray*} 3*2*|y-x| \end{eqnarray*}$

??

Waere (wie oben geschrieben) dankbar fuer JEDEN Hinweis smile

Das rumrechnen mit der "das ist so wie der das macht"-Methode bekomme ich das Ergebnis auch hin. Aber wie ist das nun mit Epsilon und Delta, welchen Wert haben die nun?

Gruesse

22.09.2009, 16:04

Leopold

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RE: Frage zu Epsilon-Delta-Kriterium

Zitat:

Original von mathenovize
Hallo,

sitze (malwieder) vor Mathe. Hab mir selbst geschworen hier erst wegzugehen, wenn ich das Epsilon-Delta-Kriterium verstanden habe und das Essen ist aus. Antworten vor 23 Uhr bevorzugt.

Anfänger brauchen durchschnittlich 93,6 Tage, bis das Epsilon-Delta-Kriterium verstanden ist. Vielleicht solltest du dich doch, bevor du anfängst, vorher im Supermarkt mit hinreichend Knäckebrot, Hartkäse und getrocknetem Schinken versorgen. Auch Seife und andere "Gegenstände", über die ich mich jetzt nicht näher auslassen will, sollten in ausreichendem Maße vorhanden sein.

22.09.2009, 16:21

mathenovize

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Pah,
um das mal zusammen zu fassen:
Mir sitzt hier ein Bootcamp-Mathenovize im Ruecken und der sagt: "Hier wird nicht gegessen, hier wird nicht getrunken. Augen geradeaus, klappe halten, nicht zuviel Atmen, das ist Luxus! Epsilon-Delta, bis dus gerallt hast."

Also hier ist mein Beweis fuer 7x^2 im Intervall 1 bis 23 (Mal selbst ausgedacht).

$\begin{eqnarray*} f(x)-f(y)|=|7x^2-7y^2|=7*|x^2-y^2|=_(dritte bin. form.) 7*|(x+y)*(x-y)| =_(x+y als <=46 abgeschaetzt) 7*46*|(x-y)| =322*|(x-y)| \end{eqnarray*}$

Kann es sein, dass ich jetzt 322 als Lipschitz-Konstante ausgerechnet habe? Sehe leide rkein Epsilon oder Delta. Was genau habe ich mir da jetzt gebastelt und wie kann ich damit einen Epsilon Delta beweis fuehren?

Meine Ahnung ist, dass ich versuchen muss aus der Funktion die Werte x oder y so rauszurechnen, dass ich damit das Epsilon darstellen kann?

Gruesse

22.09.2009, 16:24

mathenovize

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Okay, das war Lipschitz-Stetigkeit, somit ein Schuss in den Ofen. Jetzt zum Epsilon-Delta-Kriterium Augenzwinkern

22.09.2009, 17:40

calyampudi

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RE: Frage zu Epsilon-Delta-Kriterium
Hi.

Vorweg zu dem, was du von der ganzen Rechnerei hast:

Zusammengefasst steht da ja:

|f(x)-f(y)| <= 6*|x-y| < 6*delta (die letzte ungleichung stammt aus der definition)

Nun brauchen wir noch ein delta das 6*delta <= epsilon erfüllt.
Dazu wählen wir einfach delta=epsilon/6 und sind fertig.

Zu den Zwischenschritten:

Zitat:

Original von mathenovize

$\begin{eqnarray*} | \frac{(x^2+1)(y^2-2)-(y^2+1)(x^2-2)}{|(x^2-2)(y^2-2)|} \end{eqnarray*}$

Da hat er die Brueche jeweils auf einen nenner gebracht. Ich frage mich nur warum er den Nenner auch in Betragsstriche setzt. Welche lustige Rechenregel ist das?

$\begin{eqnarray*} |\frac{a}{b}|=\frac{|a|}{|b|} \end{eqnarray*}$ , mehr ist das nicht.

Zitat:

Dann schaetzt er den Nenner auf >=1 ab und laesst ihn einfach wegfallen. Dass eins das neutrale Element der Division ist ist mir klar, aber macht er es sich da nicht etwas einfach? Wenn ich z.B. x=y=0,8 waehle ist das kleiner als 1. Warum kann er das dann noch als >= abschaetzen?

(0.8^2-2)*(0.8^2-2)=1.8496>1

|(x^2-2)(y^2-2)| = |(x^2-2)|*|(y^2-2)|, beide faktoren sind in (-1,1) immer größer/gleich 1, also auch das produkt.

Zitat:

So jetzt kommt der naechste obskure Punkt, den ich nicht verstehe. Da wird jetzt abgeschaetzt dass mit Definitionsbereich x+y immer <=2 ist. Das stimmt ja auch so. Aber wieso kann er das dann durch 2 ersetzen und dann schreiben:

$\begin{eqnarray*} 3*2*|y-x| \end{eqnarray*}$

nicht nur x+y ist <= 2, auch |x+y| <= 2. Damit:

3*|y-x|*|y+x| <= 3*|y-x|*2

Zitat:

Aber wie ist das nun mit Epsilon und Delta, welchen Wert haben die nun?

epsilon kann alle beliebigen Werte die größer als Null sind annehmen, i.A. interessiert man sich aber nur für "ganz kleine", was immer das im Einzelfall heißen mag.
Deine Aufgabe ist es nicht ein epsilon auszurechnen sondern ein delta anzugeben (das auch von epsilon abhängen darf) damit die definition der stetigkeit erfüllt ist.

Hoffe ich konnte helfen.

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