Ebenengleichung aus vier Punkten??

22.09.2009, 18:10

Detox

Ebenengleichung aus vier Punkten??

Also ich habe insgesamt 4 Punkte gegeben:
A(8/0/0) , B(0/6/0) , D(8+a/b/10) und E(a/6+b/10).
Alle Punkte liegen in einer Ebene. Aber wie erstelle ich nun eine Ebenengleichung?
Kann ich dann einfach nur 3 der 4 Punkte benutzen, wenn ich von vornherein schon weiß dass alle Punkte in einer Ebene liegen?

Meine Ansätze:

Ich habe also zunächst die Drei-Punkte-Form angewendet(mit dieser ARBASCA-Formel):

E: $\begin{eqnarray*} \vec{x} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 8 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ + r $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -8 \\ 6 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ + s $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a \\ b \\ 10 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

als nächstes hab ich den Normalenvektor gebildet:

$\begin{eqnarray*} \vec{n} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -60-b \\ 10+a \\ 8a-b \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

und die Punktrichtungsgleichung in die Normalenform gebracht:

E: ( $\begin{eqnarray*} \vec{x} \end{eqnarray*}$ - $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 8 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ) * $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -60-b \\ 10+a \\ 8a-b \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
= 0

dann habe ich das in die hessesche Normalform gebracht:

E: ( $\begin{eqnarray*} \vec{x} \end{eqnarray*}$ - $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 8 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ) * $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{(-60-b)² + (10+a)² + (8a-b)²}} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -60-b \\ 10+a \\ 8a-b \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ = 0

Ist das jetzt eine Ebenengleichung? Oder macht man das irgendwie anders??

22.09.2009, 18:21

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RE: Ebenengleichung aus vier Punkten??

Zitat:

Original von Detox
Aber wie erstelle ich nun eine Ebenengleichung?
Kann ich dann einfach nur 3 der 4 Punkte benutzen, wenn ich von vornherein schon weiß dass alle Punkte in einer Ebene liegen?

Im vorliegenden Fall: Ja

Allgemein in solchen Situationen: Jein, es kann nämlich u.U. der dumme Fall auftreten, dass zudem noch drei der vier Punkte auf einer Geraden liegen. Wenn du nun ausgerechnet diese drei zur Bestimmung deiner Ebenengleichung heranziehst, geht das schief. Es ist also in Sonderfällen nicht jede beliebige Wahl von drei der vier Punkte zur Bestimmung der Ebenengleichung möglich.

Zitat:

Original von Detox
E: $\begin{eqnarray*} \vec{x} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 8 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ + r $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -8 \\ 6 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ + s $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a \\ b \\ 10 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Stimmt soweit.

Zitat:

Original von Detox
als nächstes hab ich den Normalenvektor gebildet:

$\begin{eqnarray*} \vec{n} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -60-b \\ 10+a \\ 8a-b \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Da ist was gründlich schiefgegangen: Wie hast du denn den berechnet, über das Kreuzprodukt der Richtungsvektoren, oder wie? verwirrt

22.09.2009, 18:28

Detox

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Ja. Das hab ich mit dem Kreuzprodukt gemacht. Was hab ich denn falsch gemacht? Haben soetwas vorher noch nie im Unterricht besprochen/gemacht.

22.09.2009, 18:30

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Dann schau dir noch mal ganz genau die Berechnungsvorschrift des Kreuzproduktes an - es ist nämlich

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -8 \\ 6 \\ 0 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} a \\ b \\ 10 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 60 \\ 80 \\ -8b-6a \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

22.09.2009, 18:49

Detox

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Oh ja. Hab meinen Fehler auch schon gefunden.

( $\begin{eqnarray*} \vec{x} \end{eqnarray*}$ - $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 8 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ) * $\begin{eqnarray*} \frac{1}{100+\sqrt{(-8b-6a)²}} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 60 \\ 80 \\ -8b-6a \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ = 0

Also ist das Ebenengleichung?

22.09.2009, 18:53

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Das nächste Rätsel: Was soll dieses $\begin{eqnarray*} 100+\sqrt{(-8b-6a)^2} \end{eqnarray*}$ da im Nenner?

Falls du die Norm des eben berechneten Normalenvektors meinst, die ist gleich $\begin{eqnarray*} \sqrt{10000+(-8b-6a)^2} \end{eqnarray*}$ .

22.09.2009, 19:00

Detox

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Okay. Danke!! Augenzwinkern

Also :

E: ( $\begin{eqnarray*} \vec{x} \end{eqnarray*}$ - $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 8 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ) * $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{10000 + (-8b-6a)²}} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 60 \\ 80 \\ -8b-6a \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

22.09.2009, 19:03

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Für die Ebenengleichung wäre die Normierung noch gar nicht nötig gewesen, aber ich vermute mal, du warst gleich auf die HNF aus. Jetzt kannst du, falls nötig, auch noch überprüfen, ob der vierte Punkt auch tatsächlich in der Ebene liegt. Augenzwinkern

22.09.2009, 19:08

Detox

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Echt?!

Warum sagt mir das denn keiner?

Also hätte ja das was ich oben nach der Drei-Punkte-Formel gemacht habe ja schon gereicht...nach mehr wurde in unseren Aufgaben ja auch gar nicht gefragt. Tja Big Laugh

Jetzt weiß ich wenigstens wie man das Verfahren genau anwendet Augenzwinkern

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