Formelumstellung nach x (mit Wurzeln)

23.09.2009, 16:21

Nic02

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Formelumstellung nach x (mit Wurzeln)

Hallo zusammen,

ich habe mich nach langer zeit wieder der Schule gewidmet. Leider habe ich in den letzten 9 Jahren so einiges wichtiges der Mathematik vergessen und benötige Eure Hilfe um wieder fit zu werden.

Ich habe folgende Gleichung, die ich nach x umstellen muss:

$\begin{eqnarray*} \sqrt{a-x} - \sqrt{b-x} = \frac{a-b}{\sqrt{b-x} } \end{eqnarray*}$

Ich habe auch schon einwenig probiert.
Mein erster Schritt: *(Wurzel{b-x}

$\begin{eqnarray*} (\sqrt{(a-x)*(b-x)}) - (\sqrt{(b-x)*(b-x)}) = a-b \end{eqnarray*}$

zweiter Schritt: ()²

$\begin{eqnarray*} (ab-ax-xb-x²) - (b²-bx-bx-x²) = (a-b)² \end{eqnarray*}$

--->
$\begin{eqnarray*} (ab-ax-xb-x²) - (b²-bx-bx-x²) = a²-2ab-b² \end{eqnarray*}$

--->
$\begin{eqnarray*} ab-ax-xb-x² - b²+bx+bx+x² = a²-2ab-b² \end{eqnarray*}$

Das kann so aber nicht stimmen, da ich auf kein Sinnvolles Ergebnis komme.
Ich denke ich habe einen Grundlegenden Fehler eingebaut, der mich langsam verzweifeln lässt.

Bitte habt Verständnis und helft mir

Vielen Dank im voraus
Nico

23.09.2009, 16:27

vektorraum

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RE: Formelumstellung nach x (mit Wurzeln)

Zitat:

Original von Nic02
Ich habe auch schon einwenig probiert.
Mein erster Schritt: *(Wurzel{b-x}

$\begin{eqnarray*} (\sqrt{(a-x)*(b-x)}) - (\sqrt{(b-x)*(b-x)}) = a-b \end{eqnarray*}$

zweiter Schritt: ()²

$\begin{eqnarray*} (ab-ax-xb-x²) - (b²-bx-bx-x²) = (a-b)² \end{eqnarray*}$

Wenn du neue Rechengesetze erfunden hast, dann stimmt das. Aber auf die linke Seite solltest du nochmal ein Auge werfen.

23.09.2009, 16:29

tigerbine

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RE: Formelumstellung nach x (mit Wurzeln)
Der Trick ist eigentlich immer der Gleiche. Stelle so um, dass nur auf einer Seite eine Isolierte Wurzel auftaucht. Sonst hat man "Ärger, wegen der Binomischen Formel"(edit: vgl. auch Vektorraum Augenzwinkern

Augenzwinkern

). Deine Idee war gut, aber zu zaghaft.

$\begin{eqnarray*} \sqrt{a-x} - \sqrt{b-x} = \frac{a-b}{\sqrt{b-x} } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sqrt{b-x}(\sqrt{a-x} - \sqrt{b-x}) = a-b \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sqrt{b-x}\sqrt{a-x} - (b-x)= a-b \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sqrt{(b-x)(a-x)} = (a-b) + (b-x) \end{eqnarray*}$

Tschüss. Wink

Wink

23.09.2009, 16:48

Nic02

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RE: Formelumstellung nach x (mit Wurzeln)

Zitat:

Original von tigerbine
Der Trick ist eigentlich immer der Gleiche. Stelle so um, dass nur auf einer Seite eine Isolierte Wurzel auftaucht. Sonst hat man "Arger, wegen der Binomischen Formel"(edit: vgl. auch Vektorraum Augenzwinkern

Augenzwinkern

). Deine Idee war gut, aber zu zaghaft.

$\begin{eqnarray*} \sqrt{a-x} - \sqrt{b-x} = \frac{a-b}{\sqrt{b-x} } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sqrt{b-x}(\sqrt{a-x} - \sqrt{b-x}) = a-b \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sqrt{b-x}\sqrt{a-x} - (b-x)= a-b \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sqrt{(b-x)(a-x)} = (a-b) + (b-x) \end{eqnarray*}$

Tschüss. Wink

Wink

Danke für Eure schnellen antworten, aber ich befürchte damit ist es bei mir noch nicht getan unglücklich

unglücklich

. Ich sehe in obiger Gleichung die Binomische Formel immer noch nicht. Könnt Ihr mir de bitte noch ein klein wenig auf die Sprünge helfen?
Aber die Gleichung bitte noch nicht weiter umstellen.

Vielen Dank
Nico

23.09.2009, 16:53

vektorraum

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RE: Formelumstellung nach x (mit Wurzeln)
Was würdest du denn schreiben, wenn du Tigerbines letzte Gleichung quadrierst und dann vereinfachst???

23.09.2009, 17:20

Nic02

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RE: Formelumstellung nach x (mit Wurzeln)
Mir fehlt schon das Verständnis, wie tigerbine von dem zweiten auf den dritten schritt gekommen ist.
Bitte versteht mich nicht falsch, aber ich möchte ja die Aufgabe selbst rechnen können, nur leider habe ich verdammt viel vergessen.

Zitat:

Original von vektorraum
Was würdest du denn schreiben, wenn du Tigerbines letzte Gleichung quadrierst und dann vereinfachst???

Du hast recht dann sind da zwei binom Formeln

$\begin{eqnarray*} (b+x)(a-x)=a² -2ab+b²+b²-2bx+x² \end{eqnarray*}$

Dann komme ich aber immer noch nicht auf das richtige Ergebnis, bzw. mache wieder irgend einen scheiß. unglücklich

unglücklich

so sieht es jetzt aus:

$\begin{eqnarray*} ab-bx+ax+x²=a² -2ab+b²+b²-2bx+x² \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 3ab+2bx+xa=a²-2ab+2b²+2x² \end{eqnarray*}$

Was mache ich falsch?

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23.09.2009, 17:23

vektorraum

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RE: Formelumstellung nach x (mit Wurzeln)
Nein, Fehler drin:

Wir hatten

$\begin{eqnarray*} \sqrt{(b-x)(a-x)} = (a-b) + (b-x) \end{eqnarray*}$

Nun quadrieren:

$\begin{eqnarray*} (b-x)(a-x) = [(a-b) + (b-x)]^2 \end{eqnarray*}$

Jetzt wendest du bitte auf den rechten Ausdruck die entsprechende binomische Formel an. Alternativ: Berechne erstmal den Ausdruck in der Klammer Augenzwinkern

Augenzwinkern

Übrigens: Auf der linken Seite hattest du einen Vorzeichenfehler...

23.09.2009, 17:45

Nic02

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RE: Formelumstellung nach x (mit Wurzeln)

Zitat:

Original von vektorraum
Nein, Fehler drin:

Wir hatten

$\begin{eqnarray*} \sqrt{(b-x)(a-x)} = (a-b) + (b-x) \end{eqnarray*}$

Nun quadrieren:

$\begin{eqnarray*} (b-x)(a-x) = [(a-b) + (b-x)]^2 \end{eqnarray*}$

Jetzt wendest du bitte auf den rechten Ausdruck die entsprechende binomische Formel an. Alternativ: Berechne erstmal den Ausdruck in der Klammer Augenzwinkern

Augenzwinkern

Übrigens: Auf der linken Seite hattest du einen Vorzeichenfehler...

Stimmt ich muss den ganzen Therm gesamt quadrieren.
So ich versuchs:

(b-x)(a-x)=(a-b)²+2(a-b)(b-x)+(b-x)²

(b-x)(a-x)=a²-2ax+x²

ba-bx-ax+x²=a²-2ax+x²

ba-bx+ax=a²

Soweit richtig?

23.09.2009, 17:47

vektorraum

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RE: Formelumstellung nach x (mit Wurzeln)
Müsste passen...

23.09.2009, 17:53

Nic02

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RE: Formelumstellung nach x (mit Wurzeln)
Bleiben nur noch zwei fragen übrig

Beispiel von tigerbine
$\begin{eqnarray*} \sqrt{a-x} - \sqrt{b-x} = \frac{a-b}{\sqrt{b-x} } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sqrt{b-x}(\sqrt{a-x} - \sqrt{b-x}) = a-b \end{eqnarray*}$
soweit ist es mir klar.

$\begin{eqnarray*} \sqrt{b-x}\sqrt{a-x} - (b-x)= a-b \end{eqnarray*}$
Wie komme ich den darauf?

$\begin{eqnarray*} \sqrt{(b-x)(a-x)} = (a-b) + (b-x) \end{eqnarray*}$
Das verstehe ich dann auch wieder.

Als Ergebnis sollte x=a heraus kommen, aber ich weiß nicht, wie ich jetzt weiter machen muss.
Vielen Dank, das Du Dir die mühe machst und mir hilfst.

Gruß
Nico

23.09.2009, 17:56

vektorraum

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RE: Formelumstellung nach x (mit Wurzeln)
Deine Formel ist aber oben noch nicht nach x umgestellt verwirrt

verwirrt

In dem gefragten Schritt wird einfach ausmultipliziert: Beispiel:

$\begin{eqnarray*} c\cdot (d+e)=c\cdot d+c\cdot e \end{eqnarray*}$

Das nennt man auch Distributivgesetz.

23.09.2009, 18:19

Nic02

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RE: Formelumstellung nach x (mit Wurzeln)

Zitat:

Original von vektorraum
Deine Formel ist aber oben noch nicht nach x umgestellt verwirrt

verwirrt

In dem gefragten Schritt wird einfach ausmultipliziert: Beispiel:

$\begin{eqnarray*} c\cdot (d+e)=c\cdot d+c\cdot e \end{eqnarray*}$

Das nennt man auch Distributivgesetz.

Danke das schaue ich mir nocheinmal an und suche mir ein par Übungsaufgaben.

Jetzt komme ich aber immer noch nicht zum richtigen Ergebnis

Wir hatten
$\begin{eqnarray*} ba-bx+ax=a² \end{eqnarray*}$ |-ba

$\begin{eqnarray*} ax-bx=a²-ab \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x(a-b)=a²-ab \end{eqnarray*}$ |: (a-b)

$\begin{eqnarray*} x=\frac{a²-ab}{a-b} \end{eqnarray*}$

23.09.2009, 18:21

vektorraum

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RE: Formelumstellung nach x (mit Wurzeln)
Klammere im Zähler a aus! Dann kürzen und du hast das gewünschte Ergebnis Freude

Freude

23.09.2009, 18:42

Nic02

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RE: Formelumstellung nach x (mit Wurzeln)

Zitat:

Original von vektorraum
Klammere im Zähler a aus! Dann kürzen und du hast das gewünschte Ergebnis Freude

Freude

$\begin{eqnarray*} x=\frac{a²-ab}{a-b} \end{eqnarray*}$

Meine güte hat das lange gedauert. geschockt

geschockt

$\begin{eqnarray*} x=\frac{a(a-b)}{a-b} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x=a \end{eqnarray*}$

Vielen Dank für Deine Geduld.

Eine Frage noch zum Distributivgesetz:
So sah die obige Gleichung aus:

$\begin{eqnarray*} \sqrt{b-x} (\sqrt{a-x} - \sqrt{b-x}) = a-b \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sqrt{b-x} \sqrt{a-x} - \sqrt{b-x} = a-b \end{eqnarray*}$

Hätte die obige Gleichung nicht dann so aussehen müssen? verwirrt

verwirrt

$\begin{eqnarray*} \sqrt{b-x} \sqrt{a-x} - \sqrt{b-x} \sqrt{b-x} = a-b \end{eqnarray*}$

Gruß
Nico

23.09.2009, 18:45

vektorraum

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RE: Formelumstellung nach x (mit Wurzeln)

Zitat:

Original von Nic02
Eine Frage noch zum Distributivgesetz:
So sah die obige Gleichung aus:
$\begin{eqnarray*} \sqrt{b-x} \sqrt{a-x} - \sqrt{b-x} = a-b \end{eqnarray*}$

Nein, da war eine Klammer drum!

$\begin{eqnarray*} \sqrt{b-x}( \sqrt{a-x} - \sqrt{b-x}) = a-b \end{eqnarray*}$

23.09.2009, 18:51

Nic02

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RE: Formelumstellung nach x (mit Wurzeln)

Zitat:

Original von vektorraum

Zitat:

Original von Nic02
Eine Frage noch zum Distributivgesetz:
So sah die obige Gleichung aus:
$\begin{eqnarray*} \sqrt{b-x} \sqrt{a-x} - \sqrt{b-x} = a-b \end{eqnarray*}$

Nein, da war eine Klammer drum!

$\begin{eqnarray*} \sqrt{b-x}( \sqrt{a-x} - \sqrt{b-x}) = a-b \end{eqnarray*}$

Das schon, aber genau deswegen müsste ich doch:
Die Wurzel aus (b-x) mit der Wurzel aus (a-x) multiplizieren und danach wieder
die Wurzel aus (b-x) mit der Wurzel aus (b-x) multiplizieren.

Dann sähe aber die Gleichung oben aus wie meine.

23.09.2009, 18:52

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Folgende Anmerkungen:

1.Die Ausgangsterme sind nur dann definiert, wenn sowohl $\begin{eqnarray*} a-x\geq 0 \end{eqnarray*}$ als auch $\begin{eqnarray*} b-x > 0 \end{eqnarray*}$ erfüllt sind, also $\begin{eqnarray*} x\leq a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x < b \end{eqnarray*}$ . Im Fall $\begin{eqnarray*} b\leq a \end{eqnarray*}$ ist also das gefundene $\begin{eqnarray*} x=a \end{eqnarray*}$ KEINE Lösung der Gleichung!

2.Der Fall $\begin{eqnarray*} a=b \end{eqnarray*}$ mit seiner Vielzahl von Lösungen ist voll unter den Tisch gefallen.

23.09.2009, 19:08

Nic02

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Zitat:

Original von Arthur Dent
Folgende Anmerkungen:

1.Die Ausgangsterme sind nur dann definiert, wenn sowohl $\begin{eqnarray*} a-x\geq 0 \end{eqnarray*}$ als auch $\begin{eqnarray*} b-x > 0 \end{eqnarray*}$ erfüllt sind, also $\begin{eqnarray*} x\leq a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x < b \end{eqnarray*}$ . Im Fall $\begin{eqnarray*} b\leq a \end{eqnarray*}$ ist also das gefundene $\begin{eqnarray*} x=a \end{eqnarray*}$ KEINE Lösung der Gleichung!

2.Der Fall $\begin{eqnarray*} a=b \end{eqnarray*}$ mit seiner Vielzahl von Lösungen ist voll unter den Tisch gefallen.

Danke für den Hinweis Arthur,

kannst Du mir bitte sagen wie Du die Definitionsmenge bestimmt hast?

Gruß
Nico

23.09.2009, 19:11

AD

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Na welchen Definitionsbereich hat denn die Wurzelfunktion? Und außerdem steht die eine Wurzel auch noch im Nenner.

23.09.2009, 19:30

Nic02

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Zitat:

Original von Arthur Dent
Na welchen Definitionsbereich hat denn die Wurzelfunktion? Und außerdem steht die eine Wurzel auch noch im Nenner.

Danke jetzt hats glaube ich klick gemacht.

Dann haben Wir also folgenden Fall abgehandelt:
$\begin{eqnarray*} a-x\geq 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} b-x>0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x\leq a \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x<b \end{eqnarray*}$

Ich verstehe, warum $\begin{eqnarray*} b-x>0 \end{eqnarray*}$ sein muss, weil es im Nenner steht und der nicht 0 sein darf. Was ich aber noch nicht verstehe ist, woran ich erkenne, dass wenn $\begin{eqnarray*} b\leq a \end{eqnarray*}$ ist meine Lösung falsch ist. Wie erkenne ich das?

Wie gehe ich denn jetzt als nächstes vor, im Fall $\begin{eqnarray*} b\leq a \end{eqnarray*}$ ?

Gruß
Nico

24.09.2009, 11:54

Nic02

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RE: Formelumstellung nach x (mit Wurzeln)

Zitat:

Original von Nic02

Zitat:

Original von vektorraum

Zitat:

Original von Nic02
Eine Frage noch zum Distributivgesetz:
So sah die obige Gleichung aus:
$\begin{eqnarray*} \sqrt{b-x} \sqrt{a-x} - \sqrt{b-x} = a-b \end{eqnarray*}$

Nein, da war eine Klammer drum!

$\begin{eqnarray*} \sqrt{b-x}( \sqrt{a-x} - \sqrt{b-x}) = a-b \end{eqnarray*}$

Das schon, aber genau deswegen müsste ich doch:
Die Wurzel aus (b-x) mit der Wurzel aus (a-x) multiplizieren und danach wieder
die Wurzel aus (b-x) mit der Wurzel aus (b-x) multiplizieren.

Dann sähe aber die Gleichung oben aus wie meine.

Diesen Denkfehler habe ich heute morgen verstanden, und ich brauche diesbezüglich keine weitere Unterstützung.
Vielen Dank an alle beteiligten, ich weiß, es muss manchmal schon sehr verwirrend sein, meine Rechenwege nachzuvollziehen. smile

smile

Gruß
Nico

24.09.2009, 12:06

AD

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Zitat:

Original von Nic02
Was ich aber noch nicht verstehe ist, woran ich erkenne, dass wenn $\begin{eqnarray*} b\leq a \end{eqnarray*}$ ist meine Lösung falsch ist. Wie erkenne ich das?

Du hast ja die Lösung $\begin{eqnarray*} x=a \end{eqnarray*}$ ermittelt - das ist aber nur dann eine Lösung, falls dieser $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ -Wert auch im Definitionsbereich liegt! Die eine Forderung $\begin{eqnarray*} x\leq a \end{eqnarray*}$ ist erfüllt, klar, aber die andere Forderung $\begin{eqnarray*} x<b \end{eqnarray*}$ nur für (eingesetzt!) $\begin{eqnarray*} a<b \end{eqnarray*}$ . Für das Gegenteil, also $\begin{eqnarray*} a\geq b \end{eqnarray*}$ ist dieses $\begin{eqnarray*} x=a \end{eqnarray*}$ also gar nicht im Definitionsbereich und damit auch keine Lösung.

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