Unstetigkeitsbeweis

Neue Frage »

oldwise Auf diesen Beitrag antworten »
Unstetigkeitsbeweis
Hi.

Ich beschäftige mich gerade mit dem -Kriterium für Stetigkeit und möchte es gerne rechnerisch anwenden.

Wie würde das zum Beispiel für folgende Funktion aussehen?



Viele Grüße
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Du möchest mit Epsilondelta beweisen das diese Funktion nicht stetig ist? Dazu schreibt man zunächst die Definition in einen rein logischen Ausdruck um und negiert die Aussage. Stetigkeit in für eine Funktion f mit Epsilon-Delta heisst dann :



Die negation der Aussage ist :



In Worten. Es existiert ein Epsilon so dass für alle Delta > 0 ein x im Definitionsbereich von f existiert, so dass der Abstand von x und x0 zwar kleiner als Delta , der Abstand der Funktionswerte jedoch größergleich Epsilon ist.

Es gibt aber wesentlich einfachere Wege die Unstetigkeit in 0 zu zeigen. Dafür wäre das Folgenkriterium wesentlich angenehmer.
oldwise Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Mazze,

erstmal danke für deine Antwort.

Ich weiß, dass es ganz einfach mit dem Folgenkriterium geht, aber ich möchte mich speziell mit dem Kriterium auseinandersetzen.

Soweit wie du es geschrieben hast, ist es mir klar. Jetzt geht es aber los:

Welche Funktion nehme ich denn für den konkreten Fall? Eigentlich müsste ich doch beide nachrechnen. Klar, wenn ich nehme, dann habe ich die Unstetigkeit sofort. Aber es muss ja einen Unterschied zum Beispiel zu


geben.
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Der kritische Punkt ist ja die 0. Für alle anderen Werte des Definitionsbereiches ist das Ding ja stetig, ich denke das siehst Du ein. Zunächst schauen wir uns die Bedingung



mit an. Wir wählen Epsilon mal , delta ist ja beliebig. Wir müssen jetzt zeigen dass wir dafür ein x finden das obige Bedingungen erfüllt. Ohne Einschränkung der Allgemeinheit können wir annehmen. Denn sei und sei x der Art dass



dann ist mit Sicherheit auch , das heisst auch für Delta' existiert ein x mit den obigen Eigenschaften.

Setze nun . Dann ist offensichtlich , und weiterhin ist . Damit ist natürlich

Womit die Unstetigkeit in 0 gezeigt ist.
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen