Unsymmetrische Münze wird geworfen

24.09.2009, 11:26

Mr. Mrs. X

Unsymmetrische Münze wird geworfen

Hi, ich habe folgende Aufgabe bei meiner Klausurwiederholung gefunden:

Eine unsymmetrische Münze (Kopf mit Wahrscheinlichkeit p , Zahl mit q =1− p ) werde
solange geworfen, bis zweimal hintereinander das gleiche Ergebnis eintritt.
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten dafür, dass das Experiment mit dem n -ten Wurf endet
(n ≥ 2) , und dafür, dass eine gerade Anzahl von Würfen erforderlich ist.

Wieso muss ich das ganze mittels geometrischer Reihe lösen? Das leuchtet mir nicht ganz ein. Also bei der Aufgabe war eine offensichtlich unvollständige Lösung dabei.

24.09.2009, 11:33

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Zitat:

Original von Mr. Mrs. X
Wieso muss ich das ganze mittels geometrischer Reihe lösen?

Das ist das Dilemma, wenn man sich schlecht erklärte, vielleicht nur aus Formeln bestehende Musterlösungen reinzieht. Es ist doch nicht so, dass man sich von vornherein sagt: "Das löse ich jetzt mit geometrischen Reihen."

Nein, die Betrachtung des Wahrscheinlichkeitsbaumes unter Beachtung der Unabhängigkeit der Würfe untereinander führt eben zwangsläufig auf eine geometrische Reihe.

24.09.2009, 11:44

Mr. Mrs. X

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Das ist keine Musterlösung, sondern zu einer Aufgabe ein unvollst. Mitschrieb.

Das das ganze eine geometrische Verteilung ist, das ist so weit klar.

Nur ist mein Ansatz irgendwie anders als in dem Mitschrieb.
Bei mir ist P(A) k-1 mal Kopf-Zahl und P(B) k-1 mal Zahl Kopf.
Dann ist ja P(n>= 2) = P(A) + P(B)
und weiter gilt ja dann: P(A) = (pq)^k-1 + pp
und P(B) = (qp)^k-1 + qq

Also gesamt:
P(n>=2) = 2(pq)^k-1 * (q^2 + p^2)

so weit steht das auch in der Mitschrift. Dann geht es aber mit der Reihe los und die befasst sich irgendwie nur mit gerade Wurfanzahl. Das kommt mir dann seltsam vor.

24.09.2009, 11:52

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RE: Unsymmetrische Münze wird geworfen
Was sind bei dir A,B, in welcher Beziehung stehen k und n, und über welchen Teil sprichst du da überhaupt gerade? Sieht alles ein wenig chaotisch aus bei dir. Als erstes solltest du dir doch folgendes vornehmen:

Zitat:

Original von Mr. Mrs. X
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten dafür, dass das Experiment mit dem n -ten Wurf endet

Vielleicht machst du das ja auch, es ist nur so schlecht erkennbar!

24.09.2009, 11:55

Mr. Mrs. X

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k ist bei mir n
Ich bin das mit k gewohnt. Also dass man bei der geometr. Verteilung im k-ten versuch "Erfolg", sprich in diesem Fall das gleiche "Bild" wie beim k-1ten Wurf da ist.
Und weil die Wahrscheinlichkeiten Kopf oder Zahl zu erhalten unterschiedlich sind in der Aufgabe gibt es zwei Teilereignisse deren Summe, die gesuchte Größe ist.

P(A) ist wie gesagt, die wahrscheinlichekeit k-1 mal beginnent mit Kopf ein Bildwehcsel zu erhalten.
P(B) dann das gleiche nur beginnent mit Zahl.

24.09.2009, 18:56

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Zitat:

Original von Mr. Mrs. X
k ist bei mir n

Nein, offenbar nicht - sei mal genauer in deinen Antworten. unglücklich

Also in der Erklärung mal vom Kopf auf die Füße: Es geht anscheinend um $\begin{eqnarray*} n=2k \end{eqnarray*}$ Versuche (also NICHT n=k) und die Ereignisse

$\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ ... Experiment ist im n-ten Versuch zu Ende mit zweimal Kopf

$\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ ... Experiment ist im n-ten Versuch zu Ende mit zweimal Zahl

Zitat:

Original von Mr. Mrs. X
und weiter gilt ja dann: P(A) = (pq)^k-1 + pp
und P(B) = (qp)^k-1 + qq

Nein - wieso Summe? Es ist

$\begin{eqnarray*} P(A) = (pq)^{k-1} \cdot pp \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} P(B) = (qp)^{k-1} \cdot qq \end{eqnarray*}$

und folglich

$\begin{eqnarray*} P(A \cup B) = (pq)^{k-1} \cdot (p^2+q^2) \qquad (*) \end{eqnarray*}$

die Wkt, dass das Experiment genau nach dem n-ten Wurf zu Ende ist. Wenn es nun um die Frage nach der Wkt geht, dass das Experiment nach einer geraden Zahl von Würfen zu Ende geht, dann sind die Wahrscheinlichkeiten (*) für alle $\begin{eqnarray*} k=1,2,\ldots \end{eqnarray*}$ zu summieren, also

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{\infty} (pq)^{k-1} \cdot (p^2+q^2) = (p^2+q^2) \cdot \sum_{j=0}^{\infty} (pq)^j \end{eqnarray*}$ ,

und schon steht sie da, die geometrische Reihe.

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