Simultane Kongruenz - Moduln nicht teilerfremd

24.09.2009, 13:07

eth0

Simultane Kongruenz - Moduln nicht teilerfremd

Hallo zusammen,

zu lösen ist:

$\begin{eqnarray*} X\equiv 0 mod 4\\ X\equiv 1 mod 5\\ X \equiv 2 mod 6 \\ X \equiv 3 mod 7 \end{eqnarray*}$

4 und 6 sind offensichtlich nicht teilerfremd, so dass das System erst modifiziert werden muss um den chinesischen Restsatz anwenden zu können. Wie kann ich die erste und die dritte Kongruenz so modifizieren dass ich danach nur noch teilerfremde Moduln habe?

Viele Grüße
eth0

24.09.2009, 13:25

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$\begin{eqnarray*} 2 \bmod 6 \end{eqnarray*}$ bedeutet $\begin{eqnarray*} 2 \bmod 2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 2 \bmod 3 \end{eqnarray*}$ . Das erste ist gleichbedeutend mit $\begin{eqnarray*} 0 \bmod 2 \end{eqnarray*}$ , was als Forderung bereits durch das stärkere $\begin{eqnarray*} 0 \bmod 4 \end{eqnarray*}$ abgedeckt ist. D.h., streiche $\begin{eqnarray*} 2 \bmod 6 \end{eqnarray*}$ und nimm $\begin{eqnarray*} 2 \bmod 3 \end{eqnarray*}$ hinzu, und fahre dann dein Prozedere für teilerfremde Module. Augenzwinkern

P.S. aus der Trickkiste:

Aus $\begin{eqnarray*} x \equiv a \bmod m \end{eqnarray*}$ folgt ja $\begin{eqnarray*} x \equiv a-m \bmod m \end{eqnarray*}$ , damit kann man das Ausgangssystem umschreiben zu

$\begin{eqnarray*} X \equiv -4 \bmod 4 \\ X \equiv -4 \bmod 5 \\ X \equiv -4 \bmod 6 \\ X \equiv -4 \bmod 7 \end{eqnarray*}$ ,

und hat die Lösung sofort vorliegen. Augenzwinkern

24.09.2009, 13:51

eth0

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Arthur, heißen Dank. smile

Das direkte Ablesen der Lösung aus deiner umgeschriebenen Variante ergibt nach meinem Dafürhalten:

$\begin{eqnarray*} <br /> x \equiv -4 \mod{kgV(4, 5, 6, 7)}<br /> \end{eqnarray*}$

also

$\begin{eqnarray*} <br /> x \equiv -4 \mod{420}\\<br /> \end{eqnarray*}$

also

$\begin{eqnarray*} x=416 + n*420, n \in N \end{eqnarray*}$

So sollte es sein, perfekt. Diesen Weg werde ich mir zusätzlich merken, weil man sich damit viel Rechnerei spart Augenzwinkern

24.09.2009, 13:54

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Zitat:

Original von eth0
Diesen Weg werde ich mir zusätzlich merken, weil man sich damit viel Rechnerei spart Augenzwinkern

Nun ja, das ist nicht gerade ein Weg, der universell einsetzbar ist. Big Laugh

24.09.2009, 13:57

eth0

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ACK. Aber die Aufgaben sind meistens so gestellt, dass er funktioniert. Aber primär war mir ja eh die Methode per chinesischem Restsatz wichtig. smile

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