Konforme Abbildungen

24.09.2009, 13:35

Susu

Konforme Abbildungen

Hallöchen,

ich habe folgendes Problem und hoffe, dass mir weitergeholfen werden kann. Es ist so, dass ich eine Zahl habe, die zwischen 1 und unendlich liegt. Ich benötige diese Zahl allerdings im Intervall zwischen 0 und 1. Dies kann ich ja dadurch erreichen, dass ich statt der Zahl einfach deren Kehrwert nehme.
Jetzt wüsste ich aber gerne, wie ich das mathematisch begründen kann. Da sind mir die konformen Abbildungen eingefallen, allerdings habe ich da ja auch einen imaginären Teil, geht das trotzdem, da ich den gleich 0 setzen könnte? oder muss ich da eine andere mathematische Begründung nehmen?

Hoffe ich habe mein Problem verständlich genug beschrieben. Würde mich freuen, wenn mir jemand helfen könnte.

Viele Grüße
Susu

24.09.2009, 14:03

eth0

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RE: Konforme Abbildungen
Hi Susu,

nehmen wir an dein

$\begin{eqnarray*} 1 \leq x \leq \infty \end{eqnarray*}$

ist reell, dann hat x definitiv keinen Imaginärteil, bzw. du kannst das nötigenfalls schreiben als

$\begin{eqnarray*} x = Re(x^*), Im(x^*) = 0 \end{eqnarray*}$

Damit kannst du dann durchaus eine Abbildung

$\begin{eqnarray*} x \mapsto \frac{1}{x} \end{eqnarray*}$

verwenden, um dein Intervall zu modifizieren. Also: ist x reell?

24.09.2009, 15:50

Susu

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ja, x ist reell.
wenn ich dich richtig verstehe, ist meine Überlegung im Sinne der konformen Abbildung somit möglich oder gibt es eine andere sinnvollere Möglichkeit den Zusammenhang mathematisch zu begründen?

ich habe nämlich dann noch eine weitere Transformation:
gegeben ist wieder meine reelle Zahl x, diesmal aber liegt sie im Intervall von 0 bis unendlich. auch hier will ich wieder ins Intervall $\begin{eqnarray*} [0;1] \end{eqnarray*}$ . Dann kann ich ja eigentlich einfach 1/(1+x) rechnen und dies dann wieder mithilfe der konformen Abbildung begründen, oder?

24.09.2009, 18:06

eth0

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Grundsätzlich würde ich wahrscheinlich auch so argumentieren, allerdings wäre es evtl. interessant den Hintergrund der Überlegungen bzw. die Aufgabenstellung zu kennen.

25.09.2009, 08:28

Susu

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Ich bekomme mithilfe eines Optimierungsmodells diese reelle Zahl heraus. Diese möchte ich aber im Sinne der Fuzzy Set Theorie unscharf interpretieren können und dafür muss diese Zahl im Intervall [0;1] liegen. Dafür benötige ich also eine Transformation, die ich aber auch mathematisch begründen möchte. Ich meine, jedem ist klar, dass 1/unendlich zwischen 0 und 1 liegt, aber ich möchte es eben auch mathematisch ableiten.

25.09.2009, 17:19

eth0

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Da kann man sicher beliebig weit ausholen, nur so viel: der Grenzwert von $\begin{eqnarray*} \frac{1}{x} \end{eqnarray*}$ ist 1 für x = 1 und 0 für x gegen Unendlich, abgesehen davon ist $\begin{eqnarray*} \frac{1}{x} \end{eqnarray*}$ streng monoton fallend - wie mathematisch präzise soll es denn sein? Ich höre bei solchen Begründungen immer da auf, wo "das Offensichtliche" anfängt.

26.09.2009, 16:37

Abakus

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Zitat:

Original von Susu
ja, x ist reell.
wenn ich dich richtig verstehe, ist meine Überlegung im Sinne der konformen Abbildung somit möglich oder gibt es eine andere sinnvollere Möglichkeit den Zusammenhang mathematisch zu begründen?

ich habe nämlich dann noch eine weitere Transformation:
gegeben ist wieder meine reelle Zahl x, diesmal aber liegt sie im Intervall von 0 bis unendlich. auch hier will ich wieder ins Intervall $\begin{eqnarray*} [0;1] \end{eqnarray*}$ . Dann kann ich ja eigentlich einfach 1/(1+x) rechnen und dies dann wieder mithilfe der konformen Abbildung begründen, oder?

Meinst du wirklich das hier: konforme Abbildung (Wiki) ?

Als Begründung passt das aus meiner Sicht wenig; das was du brauchst ist ein bisschen einfache Arithmetik, wie eth0 auch schon richtig geschrieben hat,

zB: $\begin{eqnarray*} x\in [0, \infty[~~ \Rightarrow \frac{1}{1+x} \in~ ]0, 1] \end{eqnarray*}$

Ergeben tut sich das aus dem Verhalten an den Intervallgrenzen (einmal einsetzen, einmal Grenzwert betrachten) und dem Monotonieverhalten deiner Transformation (das ist also Analysis).

Grüße Abakus smile

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