Notation bei linearen Abbildungen

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eth0 Auf diesen Beitrag antworten »
Notation bei linearen Abbildungen
Gegeben ist folgende Aufgabe, abzüglich der konkreten Werte der Matrix:

ist eine Basis eines C-Vektorraums V, f:V->V eine lineare Abbildung mit der Matrix . Bestimmen Sie die Matrix , wobei .

Meine Frage: ich kenne die Notation nicht. Weiß jemand wie man das korrekt interpretiert oder wo in der gängigen Literatur diese Form von Notation verwendet wird?
Cordovan Auf diesen Beitrag antworten »

Das bedeutet: die Matrix, welche die Abbildung f bezüglich Basis A im Urbildraum und Basis A im Bildraum darstellt.

Cordovan
eth0 Auf diesen Beitrag antworten »

Nice, danke. Hier nochmal die vollständige Aufgabe:

Seien eine Basis eines -Vektorraums und eine lineare Abbildung mit der Matrix . Bestimmen Sie die Matrix , wobei

Sprich, beschreibt die gleiche lineare Abbildung, aber bezüglich der Basis , right? Welche Schritte sind also notwendig, um zu ermitteln? Die Transformationsmatrix von nach ist offensichtlich weil - müsste ich demnach berechnen?
eierkopf1 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von eth0
Sprich, beschreibt die gleiche lineare Abbildung, aber bezüglich der Basis , right?

Ja.

Zitat:
Original von eth0Welche Schritte sind also notwendig, um zu ermitteln?
Die Transformationsmatrix von nach ist offensichtlich weil - müsste ich demnach berechnen?

Nein. Das ist falsch. Damit würdest du ganz was anderes berechnen.

Generell gilt:
Die Spalten der Abbildungsmatrix sind die Koordinaten der Bilder der Basisvektoren des abgebildeten Vektorraums bezüglich der Basis des Zielraums.
Dh, du musst die Basisvektoren von abbilden und dann die Koordinaten bzgl. der Basis ermitteln.
jester. Auf diesen Beitrag antworten »

Na ja, "die Transformationsmatrix von A nach B ist B", war vielleicht etwas unglücklich ausgedrückt, aber das Prinzip war doch richtig.

Ich benutze mal die Notation, die ich kenne:

Du hast , die Matrix der Abbildung bezüglich der Basis , vorgegeben.

Du hast zudem die Basis vorgegeben.

Die Matrix der Identitätsabbildung auf bezüglich der Basis im Bildraum und im Urbildraum ist in der Tat die Matrix, die die Basisvektoren von als Spalten hat (und offensichtlich ist die Identität bzgl. zweier verschiedener Basen eine Transformationsmatrix): .

Es gilt nun und damit kannst du die gesuchte Matrix als Produkt deiner vorgegeben Matrix und der zwei Transformationsmatrizen erhalten.

Das schöne an der hier verwendeten Schreibweise ist, dass du die Matrizen immer mit den passenden Basen "aneinander" multiplizierst, Bsp.:
eierkopf1 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von jester.
Die Matrix der Identitätsabbildung auf bezüglich der Basis im Bildraum und im Urbildraum ist in der Tat die Matrix, die die Basisvektoren von als Spalten hat (und offensichtlich ist die Identität bzgl. zweier verschiedener Basen eine Transformationsmatrix): .


Die Spalten dieser Matrix sind die Koordinatenvektoren von den Basisvektoren der Basis bzgl. der Basis und somit ist das die Transformationsmatrix (ich nenne sie hier wieder ) von der Basis nach der Basis

Dh, wenn man einen Koordinatenvektor bzgl. der Basis hat, dann bekommt man durch den Koordinatenvektor bzgl. der Basis

Deswegen meinte ich auch das die Aussage "Die Transformationsmatrix von der Basis nach ist " falsch ist.
 
 
jester. Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von eierkopf1
Die Spalten dieser Matrix sind die Koordinatenvektoren von den Basisvektoren der Basis bzgl. der Basis und somit ist das die Transformationsmatrix (ich nenne sie hier wieder ) von der Basis nach der Basis


Ja, das ist dann die zu 100% richtige Beschreibung des Sachverhalts. smile
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