Beweis von Limes des Produktes von Folgen = Produkt der Grenzwerte

24.09.2009, 14:38

Sonnenschein1

Beweis von Limes des Produktes von Folgen = Produkt der Grenzwerte

Hallo,
ich möchte einen Beweis führen. Und zwar möchte ich zeigen dass gilt

$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to \infty} (r_n * s_n)=a*b \end{eqnarray*}$

Dabei gilt: $\begin{eqnarray*} a=\lim_{n\to \infty}r_n \end{eqnarray*}$

und
$\begin{eqnarray*} b=\lim_{n\to \infty}s_n \end{eqnarray*}$

wobei $\begin{eqnarray*} r_n \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} s_n \end{eqnarray*}$ rationale Folgen sind.

Jetzt komme ich irgendwie nicht so recht voran.

Ich habe in einem anderen Beweis schon gezeigt, dass gilt

$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to \infty} (r_n + s_n)=a+b \end{eqnarray*}$ und zwar durch die Definition des Grenzwertes und dann mit der Dreiecksungleichung. Kann ich das hier ähnlich machen?

Ich habe einmal so angesetzt:

Ich weiß:

$\begin{eqnarray*} |r_n -a| < \epsilon \end{eqnarray*}$ ebenso
$\begin{eqnarray*} |s_n -b| < \epsilon \end{eqnarray*}$

nun habe ich ja zu zeigen:

$\begin{eqnarray*} |(r_n*s_n) -(a*b)| < \epsilon \end{eqnarray*}$

Ich habe mir überlegt, die linke Seite so umzuformen, dass ich wieder auf etwas komme, das ich schon weiß, wie z.B. $\begin{eqnarray*} |s_n -b| < \epsilon \end{eqnarray*}$ und daraus schließen kann, dass das ganze kleiner als Epsilon ist. Allerdings komme ich absolut nicht weiter...

Hat mir vielleicht jemand einen Tipp wie ich hier ansetzen kann?

Liebe Grüße
Sonnenschein 1

24.09.2009, 14:44

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Wie so oft schaltet man am besten eine "nahrhafte Null" dazwischen, d.h.

$\begin{eqnarray*} r_ns_n - ab = r_ns_n - as_n + as_n - ab = (r_n-a)s_n + a(s_n-b) \end{eqnarray*}$ ,

dann Beträge (unter Einsatz der Dreiecksungleichung) bilden

$\begin{eqnarray*} |r_ns_n - ab| \leq |r_n-a| \cdot |s_n| + |a| \cdot |s_n-b| \end{eqnarray*}$ .

Anschließend nutzt man noch, dass aus der Konvergenz der Folge $\begin{eqnarray*} (s_n) \end{eqnarray*}$ im besonderen auch die Beschränktheit von $\begin{eqnarray*} |s_n| \end{eqnarray*}$ folgt - der Rest ist Epsilontik.

P.S.: Du bist schwer im Irrtum wenn du meinst, dass bei deinen Ungleichungen dort überall derselbe $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ -Wert stehen muss - denke dir mal die Definitionen ein wenig genauer durch.

24.09.2009, 16:15

Sonnenschein1

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Vielen Dank für deine Hilfe smile

Ich glaube ich habe alles verstanden. Ich schreibs nochmals auf, ob das auch wirklich stimmt, was ich mir so gedacht habe. Also mal wieder der Trick mit der Null...

Ja, stimmt. Der epsilon-Wert kann unterschiedlich sein. Hier wäre es wohl auch sinnvoll $\begin{eqnarray*} \frac{\epsilon}{2} \end{eqnarray*}$ zu wählen, da nachher
$\begin{eqnarray*} \frac{\epsilon}{2}+ \frac{\epsilon}{2}=\epsilon \end{eqnarray*}$ ergibt.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} |r_ns_n - ab| \leq |r_n-a| \cdot |s_n| + |a| \cdot |s_n-b| \end{eqnarray*}$ .

An dieser Stelle muss man das a bei $\begin{eqnarray*} |a| \cdot |s_n-b| \end{eqnarray*}$ nicht weiter betrachten, da es ja ein fester Wert ist. Und ein fester Wert multipliziert mit etwas sehr kleinem (hier Epsilon) wird immer sehr klein.

Allerdings muss man noch zeigen, (mit aus Konvergenz folgt Beschränktheit wie du schon angemerkt hast) dass die Folge $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ beschränkt ist. Denn wäre sie unbeschränkt, könnte man nicht darauf schließen, dass $\begin{eqnarray*} |r_n-a| \cdot |s_n|<\epsilon \end{eqnarray*}$ . Doch beschränkter Wert * etwas sehr kleines = etwas sehr kleines (also kleiner als Epsilon) Hierbei ist $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ wieder irgendein Epsilon.

Um nochmals auf das Epsilon einzugehen. Das Epsilon kann bei verschiedenen Folgen verschiedene Werte annehmen. Wichtig ist eigentlich nur, dass für alle n, die größer sind als der kritische Index $\begin{eqnarray*} N(\epsilon) \end{eqnarray*}$ alle Folgenglieder im Epsilonschlauch liegen. Und es ist wichtig, dass man das Epsilon so klein machen kann, wie man nur will. Macht man es kleiner, muss man den kritischen Index einfach weiter nach hinten verschieben, sodass wieder alle Folgengleider die größer sind als der kritische Index im Epsilonschlauch liegen.
Somit ist Epsilon also kein fester Wert und man kann auch einfach $\begin{eqnarray*} \frac{\epsilon}{2} \end{eqnarray*}$ verwenden, wenn man z.B. zwei Grenzwerte addiert und sie dann kleiner als Epsilon sein sollen.

Ich hoffe das war jetzt einigermaßen verständlich.

28.09.2009, 10:36

Sonnenschein1

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Hallo,
ich habe in unsrerem Skript jetzt einen Beweis gefunden, der eben das für reelle Folgen beweist, was ich unten schon für rationale Folgen bewiesen habe. Der Beweis müsste ja eigentlich Schritt für Schritt gleich funktionnieren. Hier ist er aber etwas anders aufgebaut und ich verstehe einen Schritt nicht.

Hier erstmal der Beweis:

[attach]11303[/attach]

Und zwar geht es um die 6. Zeile.
$\begin{eqnarray*} | a-x_n| < 2^{-1} \epsilon (1+| b| )^{-1} \end{eqnarray*}$

Es ist klar, dass $\begin{eqnarray*} | a-x_n| <\epsilon \end{eqnarray*}$ und ich hatte es oben so begründet, dass b eben eine Konstante ist und somit eine Konstante * etwas sehr kleines = sehr klein wird.
Hier ist das b aber mit in den Epsilon-Term genommen worden.
Ich hätte aber so geschrieben
$\begin{eqnarray*} | a-x_n| < 2^{-1} \epsilon (| b| )^{-1} \end{eqnarray*}$ also einfach noch durch b geteilt.

Aber woher kommt jetzt dieses 1+... ?

Wäre nett, wenn mir jemand einen Tipp geben könnte?

Gruß, Sonnenschein1

28.09.2009, 10:55

klarsoweit

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Zitat:

Original von Sonnenschein1
Ich hätte aber so geschrieben
$\begin{eqnarray*} | a-x_n| < 2^{-1} \epsilon (| b| )^{-1} \end{eqnarray*}$ also einfach noch durch b geteilt.

Aber woher kommt jetzt dieses 1+... ?

Das dient lediglich zur Umgehung der Problematik, daß b=0 sein könnte. Augenzwinkern

28.09.2009, 12:05

Sonnenschein1

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ach so

Der Betrag von b kann ja größer oder gleich 0 sein. Also addiere ich eine positive Zahl, um sicher zu gehen, dass b ungleich 0 ist und ich durch b teilen darf. Das ungleichzeichen dreht sich auch nicht um, da b ja jetzt strikt positiv ist.

Könnte ich also jede beliebige positive Zahl zu b addieren um es sicher positiv zu machen?
Also auch z.B. 0,00001 oder 15? Oder muss ich hier bei der Wahl der Zahl noch etwas anderes beachten als die Positivität?

28.09.2009, 13:21

klarsoweit

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Zitat:

Original von Sonnenschein1
Also addiere ich eine positive Zahl, um sicher zu gehen, dass b ungleich 0 ist und ich durch b teilen darf. Das ungleichzeichen dreht sich auch nicht um, da b ja jetzt strikt positiv ist.

Du mußt schon präziser formulieren: es ist 1 + |b|, das ungleich Null bzw. positiv ist.

Zitat:

Original von Sonnenschein1
Könnte ich also jede beliebige positive Zahl zu b addieren um es sicher positiv zu machen? Also auch z.B. 0,00001 oder 15?

Ja, du kannst zu |b| jede beliebige positive Zahl addieren.

Zitat:

Original von Sonnenschein1
Oder muss ich hier bei der Wahl der Zahl noch etwas anderes beachten als die Positivität?

Nein.

Du solltest dir auch die Ungleichungskette nochmal genau anschauen. Es ist:

$\begin{eqnarray*} |a - x_n| \cdot |b| < \frac 1 2 \cdot \frac{\epsilon}{1 + |b|} \cdot |b| < \frac 1 2 \cdot \frac{\epsilon}{1 + |b|} \cdot (1 + |b|) = \frac{\epsilon}{2} \end{eqnarray*}$

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