Quotientenregel beweisen

24.09.2009, 16:02

Whats-that

Quotientenregel beweisen

Ich versuche gerade die Quotientenregel zu beweisen. Die Aufgabenstellung heißt:

Beweisen Sie die Quotientenregel für eine beliebige Funktion vom Typ $\begin{eqnarray*} \frac{u(x)}{v(x)} \end{eqnarray*}$ , indem SIe den Grenzwert des Differenzqoutienten d von f an der Stelle 0 zu einer beliebigen Stelle $\begin{eqnarray*} x_{0} \in D(u) \cap D(v) \end{eqnarray*}$ bilden.

24.09.2009, 16:05

Whats-that

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RE: Quotientenregel beweisen
mein Ansatz war f(x) = $\begin{eqnarray*} \frac{u + au}{v+av} - \frac{u}{v} \end{eqnarray*}$

das hat mich dann bis f(x) = $\begin{eqnarray*} \frac{au*v - av*u}{v²+av*v} \end{eqnarray*}$ gebracht

24.09.2009, 17:15

WebFritzi

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RE: Quotientenregel beweisen

Zitat:

Original von Whats-that
mein Ansatz war f(x) = $\begin{eqnarray*} \frac{u + au}{v+av} - \frac{u}{v} \end{eqnarray*}$

Was ist das denn? unglücklich

Der Differenzenquotient lautet

$\begin{eqnarray*} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} = \frac{\frac{u(x+h)}{v(x+h)} - \frac{u(x)}{v(x)}}{h}. \end{eqnarray*}$

24.09.2009, 19:48

Whats-that

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okay danke nach dem zusammen fassen habe ich dann $\begin{eqnarray*} \frac{\frac{u(x+h)*v(x)-u(x)*v(x+h)}{v(x+h+v(x)}}{h} \end{eqnarray*}$

wie gehts weiter ?

24.09.2009, 23:08

mYthos

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Forme den Zähler so um, dass du die beiden Summanden -u(x)v(x) + u(x)v(x) einfügst. Da deren Summe Null ist, verändert sich der Zählerterm nicht. Nun stelle im Zähler ein wenig um:

u(x + h)v(x) - u(x)v(x) - u(x)v(x+h) + u(x)v(x)

Entsprechend ausklammern. Merkst du schon etwas?

m+

25.09.2009, 08:52

WebFritzi

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Zitat:

Original von Whats-that
okay danke nach dem zusammen fassen habe ich dann $\begin{eqnarray*} \frac{\frac{u(x+h)*v(x)-u(x)*v(x+h)}{v(x+h+v(x)}}{h} \end{eqnarray*}$

Das ist leider falsch. Tippfehler oder falsch erweitert? Jedenfalls ist

$\begin{eqnarray*} \frac{\frac{u(x+h)*v(x)-u(x)*v(x+h)}{v(x+h)v(x)}}{h} \end{eqnarray*}$

richtig.

26.09.2009, 16:35

Whats-that

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ich bin dann jezz bei $\begin{eqnarray*} \frac{\frac{u(x+h)*v(x)-u(x)*v(x)-u(x)*v(x+h)+u(x)v(x)}{v(x+h)v(x)}}{h} \end{eqnarray*}$

aber das hat mich auch nicht weiter gebracht verwirrt

26.09.2009, 16:48

mYthos

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OK, bis dahin stimmt es.

Zitat:

Original von mYthos
...
Entsprechend ausklammern. Merkst du schon etwas?
...

Aus den ersten beiden Summanden v(x) und aus den beiden letzten u(x) ausklammern und den Nenner des oberen Bruches mit h vereinigen, dann müsste es eigentlich schon klar auf der Hand liegen.

mY+

27.09.2009, 17:13

Whats-that

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entweder hab ich nen schlechten Tag oder ich bin nur blind verwirrt

ich bin jezz bei $\begin{eqnarray*} \frac{v(x)[u(x+h)-u(x)]-u(x)[v(x+h)+v(x)]}{v(x+h)*v(x)*h} \end{eqnarray*}$

27.09.2009, 18:42

mYthos

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$\begin{eqnarray*} \frac{v(x)[u(x+h)-u(x))]-[v(x+h)+v(x)]u(x)}{v(x+h)*v(x)*h} = \left( \frac{u(x+h)-u(x)}{h}v(x) - \frac{v(x+h)-v(x)}{h}u(x) \right) \cdot \frac{1}{v(x)v(x+h)} \end{eqnarray*}$

Und nun $\begin{eqnarray*} h \to 0 \end{eqnarray*}$ ...

mY+

27.09.2009, 19:05

Whats-that

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also ist z.B. $\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0} \frac{u(x+h)-u(x)}{h} *v(x) \end{eqnarray*}$ = u'(x)*v(x) ??

27.09.2009, 19:32

mYthos

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Sicher, denn so lautet ja die Definition ...

mY+

27.09.2009, 21:57

Whats-that

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ahh jetzt finde ich das auch irgendwie einleuchtent vielen dank