Differentialgleichungen

24.09.2009, 16:47

Seno

Differentialgleichungen

Ich brauche mal wieder eure Hilfe.. kann mir jmd von euch helfen?
Ich versteh bei diesem Thema wirklich null.. die fragen die in meinem Kopf schwirren sind:

1. Was ist der unterschied zu anderen Gleichungen?
2. Auf einer Seite von uns im Buch stehen unterschiedliche Formeln für Wachstumsprozesse, dabei immer die Begriffe in Zusammenhang: Differentialgleichung, die dazugehörige Lösungsmenge, Rekursionsgleichung und Allgemeines Glied..

3. Was ist ein kontinuierliches Modell(Differentialgleichung)
4. Was ist ein diskretes Modell(Rekursionsgleichung)

BITTEE HELFT MIR :-( ich verzweifle

24.09.2009, 16:53

Mazze

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Differentialgleichungen ist ein komplexes Thema. Wenn Du es an der Schule behandelst dürfte es relativ einfach gehalten werden. (schätzungweise lineare DGLs)

Zitat:

1. Was ist der unterschied zu anderen Gleichungen?

Zunächst gibt es da erstmal mathematisch keinen Unterschied. Wenn Du eine Gleichung

$\begin{eqnarray*} A(x) = B(x) \end{eqnarray*}$

hast, dann ist für die Lösung entscheidend aus welche Menge x kommt. Du kennst sicher Gleichungen wie

$\begin{eqnarray*} x^2 = 4 \end{eqnarray*}$

wobei x reelle Zahlen sind. Hier wären -2 und 2 Lösungen. Wenn Du Differentialgleichungen

$\begin{eqnarray*} f'(x) = f(x) \end{eqnarray*}$

hast, dann suchst Du Funktionen f die diese Gleichung erfüllen. Einfaches Beispiel :

$\begin{eqnarray*} f'(x) = cos(x) \end{eqnarray*}$

Diese Differentialgleichung gehört zu den einfachsten, die Lösungen sind hier $\begin{eqnarray*} f(x) = sin(x) + c \end{eqnarray*}$ ist Dir das klar?

24.09.2009, 16:55

Seno

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nee wieso ist der sinus gleich dem cosinus ? (weiß zwar das es die ableitung ist, doch wieso ist da stammfunktion = ableitung) denn nehmen wir sin von 0 ist ungleich cos von 0 ..

dachte bei deinem f(x) = f'(x) eher an die e funktion wie $\begin{eqnarray*} e^x \end{eqnarray*}$

24.09.2009, 16:57

Mazze

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Du bringst da was durch einander. Du hast richtig erkannt das von der Differentialgleichung

$\begin{eqnarray*} f'(x) = f(x) \end{eqnarray*}$

die Funktion $\begin{eqnarray*} e^x \end{eqnarray*}$ eine Lösung ist. Ich habe aber eine andere Differentialgleichung als Beispiel gebracht, nämlich

$\begin{eqnarray*} f'(x) = cos(x) \end{eqnarray*}$

Dies ist eine andere Differentialgleichung als die erste.

24.09.2009, 17:01

Seno

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Zitat:

Original von Mazze
Du bringst da was durch einander. Du hast richtig erkannt das von der Differentialgleichung

$\begin{eqnarray*} f'(x) = f(x) \end{eqnarray*}$

die Funktion $\begin{eqnarray*} e^x \end{eqnarray*}$ eine Lösung ist. Ich habe aber eine andere Differentialgleichung als Beispiel gebracht, nämlich

$\begin{eqnarray*} f'(x) = cos(x) \end{eqnarray*}$

Dies ist eine andere Differentialgleichung als die erste.

Aber du meintest doch f'(x)=cos(x) = f(x)=sin(x)

24.09.2009, 17:10

Mazze

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Ich verstehe dein Problem gerade nicht. Wir betrachten die Differentialgleichung

$\begin{eqnarray*} f'(x) = cos(x) \end{eqnarray*}$

Wir wissen das $\begin{eqnarray*} (sin(x))' = cos(x) \end{eqnarray*}$ also ist $\begin{eqnarray*} f(x) = sin(x) + c \end{eqnarray*}$

24.09.2009, 17:26

Seno

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ja oke hab ich verstanden und jetzt?

24.09.2009, 17:29

Mazze

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Hm, was ist denn genau dein problem? Augenzwinkern

24.09.2009, 17:30

Seno

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RE: Differentialgleichungen
Dieses:

1. Was ist der unterschied zu anderen Gleichungen?
2. Auf einer Seite von uns im Buch stehen unterschiedliche Formeln für Wachstumsprozesse, dabei immer die Begriffe in Zusammenhang: Differentialgleichung, die dazugehörige Lösungsmenge, Rekursionsgleichung und Allgemeines Glied..

3. Was ist ein kontinuierliches Modell(Differentialgleichung)
4. Was ist ein diskretes Modell(Rekursionsgleichung)

wie gesagt, das thema ist mir zu 100% neu, ich hab da garkeine ahnung

24.09.2009, 17:33

Mazze

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Also Du sollst schon konkreter werden. Diese Themen sind umfangreich und das Forum soll Dir kein Buch ersetzen. Sollst Du es selber herausarbeiten?

24.09.2009, 17:34

Seno

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das doofe ist ja.. ich habs mir durchgelesen und wirklich nichts verstanden, was soll ich dann machen? hab gedacht ihr könnt mir die fragen beantworten

24.09.2009, 17:35

Mazze

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Können wir, wenn Du genaue Fragen stellst, das Thema erklären werde ich hier nicht.

24.09.2009, 17:36

Seno

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Was ist ein kontinuierliches Modell(Differentialgleichung)
Was ist ein diskretes Modell(Rekursionsgleichung)

ist das nicht genau?

24.09.2009, 17:44

Mazze

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Was eine Differentialgleichung ist hast Du ja im Prinzip schon gesehen. Eine Rekursionsgleichung ist eine Gleichung der Form

$\begin{eqnarray*} x_n = f(x_{n-1},x_{n-2},...,x_1) \end{eqnarray*}$

Dies ist aber die allgemeine Form. Ein Beispiel wäre die Fibonaccifolge

$\begin{eqnarray*} x_1 = 0, x_2 = 1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_{n+1} = x_{n} + x_{n-1} \end{eqnarray*}$

Beispielwerte der Folge :

$\begin{eqnarray*} x_3 = x_2 + x_1 = 1 + 0 = 1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_4 = x3 + x_2 = 1 + 1 = 2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_5 = x_4 + x_3 = 2 + 1 = 3 \end{eqnarray*}$

Kennst Du die Indexschreibweise $\begin{eqnarray*} x_n \end{eqnarray*}$ ?

24.09.2009, 18:44

Seno

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Zitat:

Original von Mazze

Kennst Du die Indexschreibweise $\begin{eqnarray*} x_n \end{eqnarray*}$ ?

nee, was bedeutet die?

24.09.2009, 19:36

Mazze

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Die Schreibweise solltest Du zumindest noch vom lösen quadratischer Gleichungen kennen. Du hast sicher schonmal was wie

$\begin{eqnarray*} x_{1,2} = -\frac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2 - q} \end{eqnarray*}$

Allgemein ist das eine aufzählende Schreibweise. Nehmen wir an Du hast die Zahlenfolge

$\begin{eqnarray*} a = (1 ~ 2 ~ 3 ~ 4 ~ 5 ~ 6 ~ 7 ~ 8 ~ 9) \end{eqnarray*}$ und so weiter, dann wäre

$\begin{eqnarray*} a_1 = 1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a_2 = 2 \end{eqnarray*}$

und so weiter. Die tiefgestellte Zahl heisst Index, und mit dem Index bestimmt man hier welches Folgenglied gemeint ist. Wenn Du jetzt die Fibonaccifolge nimmst, die ich oben gepostet habe dann ist mit

$\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$

das erste Folgengleid gemeint. $\begin{eqnarray*} x_2 \end{eqnarray*}$ ist dann das zweite und so weiter.

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