Welcher Kegelschnitt?

24.09.2009, 15:52

hiars123

Welcher Kegelschnitt?

Hallo liebes matheboard
Ich bereue es nicht früher auf dich gestoßen zu sein.

Bin neu hier und werde nicht nur nehmen sondern auch geben, aber jetzt zu meiner Frage...

Für welche Werte von lambda ergeben sich Ellipsen bzw. Hyperbeln

Funktion:
$\begin{eqnarray*} (\frac{x^2} {4}+y^2-1)+\lambda (\frac{x^2}{2} -y^2-1) \end{eqnarray*}$

So folgendes Problem:
Ich hab mich in das Thema eingelesen und viel probiert jedoch komm ich nicht weiter.

Ich hab versucht die Gleichung so umzuformen, sodass sie der Hyperbel bzw. Ellipsenformel am ähnlichsten schaut

zuerst hab ich die Klammer ausmultipliziert, danach jeweils x^2 und y^2 ausgeklammert

so sieht dass dann aus:

$\begin{eqnarray*} \frac{x^2}{2} *(\frac{1}{2} +\lambda )+y^2(1-\lambda )-\lambda =1 \end{eqnarray*}$

das einzige was mich jetzt noch stört ist das lambda vor dem "ist-gleich" Zeichen

Bin ich auf dem komplett falschen weg oder worin liegt mein Denkfehler?

24.09.2009, 16:28

WebFritzi

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RE: Welcher Kegelschnitt?
Für $\begin{eqnarray*} \lambda\neq -1 \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} \frac{x^2}{2} \cdot(\frac{1}{2} +\lambda )+y^2(1-\lambda )-\lambda =1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Longleftrightarrow \frac{x^2}{2} \cdot(\frac{1}{2} +\lambda )+y^2(1-\lambda ) =1 + \lambda \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Longleftrightarrow \frac{x^2}{4} \cdot \frac{1 + 2\lambda}{1 + \lambda}+y^2 \cdot\frac{1-\lambda}{1 + \lambda} = 1 \end{eqnarray*}$

Hilft dir das?

24.09.2009, 16:47

hiars123

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Vielen Dank
Daraus folgt

Ellipse für lambda ]-1;1[ weil somit $\begin{eqnarray*} y^2*\frac{1+\lambda }{1-\lambda } \end{eqnarray*}$ negativ ist

Hyperbel für lambda ]-unendlich;-1[ und zugleich ]1;+unendlich[

Ich hoffe das stimmt so

danke du hast mir sehr geholfen

25.09.2009, 06:41

WebFritzi

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Zitat:

Original von hiars123
Ellipse für lambda ]-1;1[ weil somit $\begin{eqnarray*} y^2*\frac{1+\lambda }{1-\lambda } \end{eqnarray*}$ negativ ist

Dann setz mal $\begin{eqnarray*} \lambda = 0 \end{eqnarray*}$ ein...

25.09.2009, 13:59

hiars123

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für $\begin{eqnarray*} \lambda =0 \end{eqnarray*}$

--> $\begin{eqnarray*} \frac{x^2}{4} + y^2=1 \end{eqnarray*}$

Verbesserung:

Ellipse für lambda ]-1;1[ weil somit $\begin{eqnarray*} y^2*\frac{1+\lambda }{1-\lambda } \end{eqnarray*}$ POSITIV ist

war ein tippfehler, entschuldige

Hyperbel für lambda ]-unendlich;-1[ und zugleich ]1;+unendlich[
für diese lambda ist $\begin{eqnarray*} y^2*\frac{1+\lambda }{1-\lambda } \end{eqnarray*}$ negativ

vielen Dank
mfg hiars123

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