Pyramidenaufgabe: Orthogonalität der Seitenflächen in Abhängigkeit von einer Variablen

24.09.2009, 19:15

Lisa89

Pyramidenaufgabe: Orthogonalität der Seitenflächen in Abhängigkeit von einer Variablen

Hey
ich hab hier eine Aufgabe mit einer Pyramide. Die pyramide hat ein gleichseitiges Dreickeck 0AB als Grundfläche

Hier die Koordinaten der Punkte

0 (0 | 0 |0)
B (0 | a |0)
A ( $\begin{eqnarray*} \sqrt{3} * \frac{a}{2} \end{eqnarray*}$ | $\begin{eqnarray*} \frac{a}{2} \end{eqnarray*}$ | 0)

der Mittelpunkt des Dreiecks (schnittpunkt der Seitenhalbierenden ) hat die Koordinaten

M ( $\begin{eqnarray*} \frac{a}{6} *\sqrt{3} | \frac{a}{2} | 0 \end{eqnarray*}$ )

die Spitze S hat die Koordinaten

S ( $\begin{eqnarray*} \frac{a}{6} *\sqrt{3} | \frac{a}{2} | h \end{eqnarray*}$ )

Für welche Höhe h in Abhängigkeit von a sind die Seitenflächen der Pyramide zueinander orthogonal.

Ich habe dann Ebenengleichung aufgestellt. Zunächst in Paramterform, und habe dass dann in Normalenform umgewandelt, um dann zu gucken wann die Normalenvektoren orthogonal zueinander sind( mit skalarprodukt)

im lösungsbuch steht aber Die Ebene durch O , B, S hat den normalenvektor
$\begin{eqnarray*} \vec{n} = \begin{pmatrix} -h \\ 0 \\ \sqrt{3} * \frac{a}{6} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

und dann stehen da noch die normalenvektoren der anderen Seitenflächen.

Meine Frage ist wie kann man den Normalenvektor ablesen wenn man 3 Punkte gegeben hat?( das geht ja anscheinend, hab davon aber irgendwie noch nie was gehört unglücklich

DANKE !

24.09.2009, 20:18

Leopold

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Wieso ablesen? Den Normalenvektor von $\begin{eqnarray*} OAS \end{eqnarray*}$ bekommst du durch $\begin{eqnarray*} \overrightarrow{OA} \times \overrightarrow{OS} \end{eqnarray*}$ , den von $\begin{eqnarray*} OBS \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} \overrightarrow{OB} \times \overrightarrow{OS} \end{eqnarray*}$ .

Dabei darfst du sowohl die Richtungsvektoren durch Vielfache ersetzen als auch den Normalenvektor nach seiner Berechnung.

24.09.2009, 20:53

Lisa89

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Zitat:

Original von Leopold
Wieso ablesen? Den Normalenvektor von $\begin{eqnarray*} OAS \end{eqnarray*}$ bekommst du durch $\begin{eqnarray*} \overrightarrow{OA} \times \overrightarrow{OS} \end{eqnarray*}$ , den von $\begin{eqnarray*} OBS \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} \overrightarrow{OB} \times \overrightarrow{OS} \end{eqnarray*}$ .

Dabei darfst du sowohl die Richtungsvektoren durch Vielfache ersetzen als auch den Normalenvektor nach seiner Berechnung.

also muss der normalvektor orthogonal zu $\begin{eqnarray*} \vec{OA} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec{OS} \end{eqnarray*}$ sein?
oder wie unglücklich

24.09.2009, 23:34

mYthos

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Zitat:

Original von Lisa89
...
also muss der normalvektor orthogonal zu $\begin{eqnarray*} \vec{OA} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec{OS} \end{eqnarray*}$ sein?
...

So ist es!

mY+

25.09.2009, 07:27

Lisa89

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danke

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