Integrieren von Cosinusfunktion?

24.09.2009, 20:18	bandchef	Auf diesen Beitrag antworten »
Integrieren von Cosinusfunktion? Hi Leute! Ich hab folgende Cosinusfunktion zu integrieren: $\begin{eqnarray} g(x)=2cos(\frac{\pi}{2}x)+2 \end{eqnarray}$ Ich bin dann schon mal soweit gekommen: $\begin{eqnarray} G(x)=22(sin(\frac{\pi}{2}x)+x) \end{eqnarray}$ Allerdings steht in meiner Lösung, dass mit dem Argument des Sinus anscheinend auch noch etwas gemacht werden muss; wie sollten die sonst noch zu dem $\begin{eqnarray} \frac{2}{\pi} \end{eqnarray}$ kommen, dass mit in der Klammer nach dem $\begin{eqnarray} 22 \end{eqnarray*}$ steht? Aber was wird da genau gemacht? danke, bandchef
24.09.2009, 20:20	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Integrieren von Cosinusfunktion? Was passiert denn, wenn du dein G ableitest?
24.09.2009, 21:04	bandchef	Auf diesen Beitrag antworten »
aus dem sinus wird der cosinus bei dem das argument nachdifferenziert wird. die summe wird einfach abgeleitet... muss ich etwa das argument des sinus in der G-Funktion "aufleiten"? Wenn ja, wie geht das?
24.09.2009, 21:08	Bakatan	Auf diesen Beitrag antworten »
Durch Substitution normalerweise oder hier durch hinschauen. Beachte: $\begin{eqnarray} \int (2\cos \left(\frac{\pi}{2}\cdot x\right)+2)dx=2\int \cos \left(\frac{\pi}{2}\cdot x\right)dx+\int 2dx \end{eqnarray}$
24.09.2009, 21:09	bandchef	Auf diesen Beitrag antworten »
@Bakatan: Das versteht ich leider noch weniger... Ich will doch nur wissen, wie es zu diesem $\begin{eqnarray} \frac{2}{\pi} \end{eqnarray}$ kommt, das in der Lösung steht...
24.09.2009, 21:15	Bakatan	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn man es noch nicht gewohnt ist, eben doch substituieren: $\begin{eqnarray} u=\frac{\pi x}{2};~\frac{du}{dx}=\frac{\pi}{2};~dx=\frac{2}{\pi}\cdot du \end{eqnarray}$
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24.09.2009, 21:43	bandchef	Auf diesen Beitrag antworten »
du hast das argument zusammengefasst und danach abgeleitet, oder? aber was passiert von schritt 2 nach 3?
24.09.2009, 21:43	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Diese Regel braucht was Übung. aber man kann sich doch fragen, was ist die Umkehrung der Kettenregel (nachdifferenzieren)
24.09.2009, 21:49	bandchef	Auf diesen Beitrag antworten »
also moment, beim integrieren einer funktion mit argument, muss ich das argument erst ableiten und dann?
25.09.2009, 11:56	Bakatan	Auf diesen Beitrag antworten »
Es ist die Umkehrung der Kettenregel. Die Herleitung davon will ich jetzt mal nicht machen, aber die Methode ist folgende: Substitution! Allerdings muss man dafür auch das Differential substituieren, was Formal eben so geht: 1. Man substituiert u=f(x) z.b. wie u=x²+1 2. Formal aus der Ableitung von u, also u(x) erhält man: $\begin{eqnarray} \frac{du}{dx}=2x;~dx=\frac{1}{2x}du \end{eqnarray}$ 3. Man ersetzt alles. Nun sollte wenn die Substitution eine gute war ein einfacherer Term dort stehen.

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