Matrix und Linearität

24.09.2009, 22:10

NeedNoNick

Matrix und Linearität

Drei kurze Fragen

1. Frage

Für welches Lamda € R ist das GS lösbar?

$\begin{eqnarray*} \lambda x_1 + x_2 - x_3 = 3 \\ x_1 - \lambda x_2 + x_3 = 0 \\ x_1 + \lambda x_2 - x_3 = 1 \end{eqnarray*}$

Wäre es ein homogenes GS (Ax=0) müsste
ich nur die Determinante mit Lamda ausrechnen
und das GS wäre eindeutig lösbar für
alles (in R) ausser den Lösungen von den Lamda-Determinaten

Die Frage: Wie mach ich es aber bei dem inhomogenen?

2. Frage

Matrix für diese lin. Abb. finden

$\begin{eqnarray*} F: \mathbb R ^3 \Rightarrow \mathbb R ^2 \\ F(\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} ) = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix} .... F(\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} ) = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \end{pmatrix} .... F(\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} ) = \begin{pmatrix} 4 \\ -2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Würde ich von F: R² -> R² müsste ich je eine 2x2 Matrix mit dem Vektor in F() ausmultiplizieren und das b von Ax=b wäre dann das y von F(x)=y.
Ingesammt hätte ich dafür dann 4 gleichungen von denen ich die einzelnen Werte (a_11, a_12, a_22, a_21) mit einsetzen etc. ausrechne.

Aber: Ich bei der F: R³->R² keine 2x2 Matrix mit einem Vektor der 3 Spalten hat multiplizieren. Wie soll ich das da machen?

3. Frage

"Wenn die Vektoren x und y linear unabhängig sind, sind dann auch v=2x+y und w=x-2y linear unabhängig?"

Ich hätte gesagt dass sie nicht linear unabhängig sind weil sie sich aus x und y bilden lassen, aber(!) die Antwort stimmt nicht. Warum sind sie linear unabhängig?

24.09.2009, 22:29

Reksilat

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RE: Matrix und Linearität
Zu 1: Wenn die zugehörige Matrix invertierbar ist (Determinante ist nicht null), so ist auch das inhomogene Gleichungssystem immer eindeutig lösbar.
Wenn Du jetzt die Lambdas ermittelt hast, für die die Determinante null wird, dann kannst Du diese ja einsetzten und hast ein parameterfreies LGS, das man mit Gauß angehen kann.

Alternativ kann man auch einfach so mit Gauß losrechen und nach ein wenig Fallunterscheidung bekommt man auch die Lösung.

Zu 2: Eine Abbildung vom $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^3 \end{eqnarray*}$ in den $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^2 \end{eqnarray*}$ lässt sich mit einer 3x2-Matrix darstellen.
Anmerkung: Zur Matrix einer linearen Abbildung gehört auch immer eine Basis für Urbild- und Bildraum, ich denke, dass man hier aber jeweils die Standardbasis gemeint ist.

Zu 3: Mach doch mal einen Ansatz: $\begin{eqnarray*} \alpha v+ \beta w=0 \end{eqnarray*}$ und setze nun die Vorschrift ein. Nach ein wenig Umformung hast Du so was wie $\begin{eqnarray*} (...)x+(...)y=0 \end{eqnarray*}$ dort stehen und da diese beiden Vektoren linear unabhängig sind, muss auch das was in den Klammern steht null sein.
Daraus musst Du nun $\begin{eqnarray*} \alpha=\beta=0 \end{eqnarray*}$ folgern.

Gruß,
Reksilat.

PS: So ist's besser. Freude

27.09.2009, 03:26

NeedNoNick

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Danke für die rasche Antwort!

Kurz zu 3:

Sollte das dann genau so aussehen:
x(2a+b) = -y(a-2b)
Und deswegen ist's nicht lin. unabh.?
Oder ist da ein Fehler?

27.09.2009, 06:58

Manus

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RE: Matrix und Linearität

Zitat:

Original von Reksilat

Zu 2: Eine Abbildung vom $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^3 \end{eqnarray*}$ in den $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^2 \end{eqnarray*}$ lässt sich mit einer 3x2-Matrix darstellen.

Da er oben im Zusammenhang mit der Aufgabe das lin. GLS Ax=b erwähnt hat, würde ich davon ausgehen, dass die Abbildung durch Multiplikation von Rechts an eine Matrix gegeben ist. Entsprechend sollte es eine 2x3 Matrix bei Standardnotation (Zeilen zuerst) sein.

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