Wann partielle Integration und wann Substitution

25.09.2009, 09:39	DaDom	Auf diesen Beitrag antworten »
Wann partielle Integration und wann Substitution Hallo ihr, hab mal wieder ne frage für meine bevorstehende Analysis - Prüfung. Bin mir inzwischen über die Verwendung von Substitution und partieller Integration im klaren wie es anzuwenden ist, wenn drüber steht verwenden sie "partielle" Integration oder "durch Substitution". Mir selbst ist es aber noch nicht gelungen ein Muster zu erkennen, wann wohl eher welche Methode angewendet werden soll. Gibt es da bestimmte Dinge an die man sich richten kann? Bin dankbar für jede Hilfe Grüße Dominik
25.09.2009, 09:46	Duedi	Auf diesen Beitrag antworten »
Die einzige richtige Antwort, die man dir darauf geben kann, ist: Übe! Wenn es immer ein Kochrezept gäbe, wäre Mathematik leicht
25.09.2009, 10:12	DaDom	Auf diesen Beitrag antworten »
du hast wohl recht, hab nur gehofft ich könnts mir bissl vereinfachen weil ich noch genug stoff zum pauken hab bis zu meiner Prüfung am Montag und wohl gar nicht alles schaffe. (was nahezu auch unmöglich ist) aber danke trotzdem
25.09.2009, 11:19	petiz	Auf diesen Beitrag antworten »
So zwei drei Sachen wodrauf du achten solltest. Partielle Integration: - Wenn du zwei verknüpfte Funktionen im Integral hast $\begin{eqnarray} \int_{}^{}~a(x)b(x)~dx \end{eqnarray}$ und eine davon ein Polynom ist, dann bietet sich partielle Integration an, weil das Polynom dann nach n-maliger (n für den Grad das Polynoms) Anwendung wegfällt. - Wenn du zwei verknüpfte Funktionen im Integral hast $\begin{eqnarray} \int_{}^{}~a(x)b(x)~dx \end{eqnarray}$ und beide Funktionen zyklisch sind (sin, cos) dann fällt kannst du das Integral meist nach zweimaliger Anwendung der partiellen Integration wegkürzen. Substitution: - Wenn du ein Integral der Form $\begin{eqnarray} \int_{}^{}~f(g(x))~dx \end{eqnarray}$ hast. Und f(x) könntest du ohne Probleme direkt lösen. Dann bietet sich meist an g(x) zu subtituieren. Dadurch kommst du dann auf eine Form ala: $\begin{eqnarray} \int_{}^{}~\frac{f(u)}{u'} ~du \end{eqnarray}$ Im Optimalfall war g(x) ein Polynom ersten Grades (z.B. 3x+4). In dem Falle ist u' nurnoch eine Konstante und du kannst es vor das Integral schieben. Wenn u' nach dem ableiten keine Konstante ist, so bietet sich oft im zweiten Schritt partielle Integration an (z.B. wenn u' = exp(x) ist) - Wenn du ein Integral der Form $\begin{eqnarray} \int_{}^{}~f(g(x))g'(x)~dx \end{eqnarray}$ hast ist es ganz einfach. Da fällt substituierst du einfach g(x) und kommst dann auf eine Form ala: $\begin{eqnarray} \int_{}^{}~\frac{f(u)g'(x)}{g'(x)} ~du \end{eqnarray}$ Manchmal fehlt bei der äußeren Ableitung noch ein Koeffizient. Beispiel: $\begin{eqnarray} \int_{}^{}~f(3x^2)x~dx \end{eqnarray}$ In dem Falle wäre die komplette Ableitung von g(x) (welches das 3x^2 ist) dann 6x. Um das Integral zu lösen, kannst du es ganz einfach erweitern indem du es ein wenig umschreibst: $\begin{eqnarray} \frac{1}{6}\int_{}^{}~f(3x^2)6x~dx \end{eqnarray*}$ Vieleicht hilft dir das jetzt auch nicht wirklich weiter weil du das alles bereits kennst. Vieleicht aber auch doch
25.09.2009, 14:16	DaDom	Auf diesen Beitrag antworten »
es hilft mir auf jeden Fall weiter und es kommt genau auch so auf mein CheatSheet welches ich mitnehmen darf. super, vielen Dank
25.09.2009, 17:01	petiz	Auf diesen Beitrag antworten »
Ein weiterer Zusatz zur Substitution Wenn du ein Integral der Form: $\begin{eqnarray} \int_{}^{}~f(g'(x))g(x)~dx \end{eqnarray}$ hast, und f(x) ohne Probleme integrieren könntest, so gelingt es manchmal* auf eine folgende Form zu kommen wenn du g'(x) = u substituierst. $\begin{eqnarray} \int_{}^{}~f(u)u~du \end{eqnarray}$ ... dann bietet sich wieder partielle Integration an, wo du $\begin{eqnarray} u \end{eqnarray}$ ableitest. Beispiel:* $\begin{eqnarray} \int_{}^{}~f(x^2)x^3~dx \end{eqnarray}$ Substitution: $\begin{eqnarray} u = x^2 \end{eqnarray}$ . Jetzt ist 1/u' = 1/(2x). Dann könntest ein x des x^3 wegkürzen , und kommst auf oben genannte Form. (Natürlich mit einem Koeffizenten 1/2 den du einfach vor das Integral schieben kannst Das sind natürlich alles keine Kochrezepte sondern nur Anregungen wie man Integrale lösen kann. Wenn dir Koeffizienten fehlen um irgendeine der Formen hinzubekommen dann bedenke immer dass du Koeffizienten einfach aus Integralen rausziehen und auch erweitern* kannst (Siehe folgende zwei Beispiele): $\begin{eqnarray} \int_{}^{}~f(x)~dx = \frac{1}{a} \int_{}^{}~af(x)~dx \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \int_{}^{}~f(x)~dx = a\int_{}^{}~\frac{1}{a}f(x)~dx \end{eqnarray}$
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