Linearisierung

25.09.2009, 12:05	Dunkit	Auf diesen Beitrag antworten »
Linearisierung Hallo zusammen. Ich habe die beiden Gleichungen (1) $\begin{eqnarray} y'(t) = f(t,y) \end{eqnarray}$ und (2) $\begin{eqnarray} u'(t) = f(t,u) + \delta(t) \end{eqnarray}$ ich möchte die erste von der zweiten abziehen, das ergibt bei mir $\begin{eqnarray} u'(t) - y'(t) = f(t,u) - f(t,y) + \delta(t) \end{eqnarray}$ . Nun soll ich linearisieren und das Ergebnis soll sein $\begin{eqnarray} u'(t) - y'(t) = \frac{\partial f}{\partial y} \left(t, y(t) \right) \left(u(t)-y(t) \right) + \delta(t) + r(t) \end{eqnarray}$ Da wurden doch quasi $\begin{eqnarray} f(t,u) - f(t,y) \end{eqnarray}$ abgeleitet (also linearisiert) und als "Ausgleich" wurde $\begin{eqnarray} r(t) \end{eqnarray}$ als Rest hinzugefügt. Ich komme aber nicht drauf, wie dieser Term $\begin{eqnarray} \frac{\partial f}{\partial y} \left(t, y(t) \right) \left(u(t)-y(t) \right) \end{eqnarray}$ zu stande kommt?! Ich vermute durch die Kettenregel und irgendwie die beiden Ausgangsgleichungen. Kann mir mal jemand auf die Sprünge helfen? Vielen Dank!
26.09.2009, 16:28	Wirr	Auf diesen Beitrag antworten »
Ist die Funktion $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ differenzierbar, dann gilt nach Definition: $\begin{eqnarray} f(t,u(t)) = f(t,y(t)) + \frac{\partial f}{\partial y}(t,y(t))(u(t)-y(t)) + R(u(t))\|\|u(t)\|\| \end{eqnarray}$ . Setzt man nun $\begin{eqnarray} r(t) := R(u(t))\|\|u(t)\|\| \end{eqnarray}$ , so folgt daraus die angegebene Darstellung.
26.09.2009, 17:38	Wirr	Auf diesen Beitrag antworten »
Es muss $\begin{eqnarray} R(u(t)-y(t))\|\|u(t)-y(t)\|\| \end{eqnarray}$ an Stelle von $\begin{eqnarray} R(u(t))\|\|u(t)\|\| \end{eqnarray}$ stehen.
28.09.2009, 14:33	Dunkit	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok danke. Nun geht es aber weiter: Der Anteil $\begin{eqnarray} r(t) \end{eqnarray}$ soll a $\begin{eqnarray} O(\\| u(t)-y(t) \\| ^2) \end{eqnarray}$ ngeblich $\begin{eqnarray} O(\\| u(t)-y(t) \\|) \end{eqnarray}$ kann ich nach dem was du geschrieben hast nachvollziehen, aber woher kommt das Quadrat?
09.10.2009, 11:43	Dunkit	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich bin an dieser Stelle immernoch nicht weiter... keine Vorschläge?

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