Hilfe bei Rechenschritt

25.09.2009, 12:13

Manolo81

Hilfe bei Rechenschritt

Hallo,

ich bin gerade dabei eine Gleichungsfolge nachzuvollziehen, und benötige dabei Hilfe bei folgendem Rechenschritt:

$\begin{eqnarray*} nE \left[ f \left( \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{nx}X_k\right) -f(x)\right] - \frac{1}{2}E \left[ \left( \frac{1}{\sqrt{n}}\sum_{k=1}^{nx}(X_k-1)\right)^2\right]f''(x) = E\left[ \int_0^1 S^2_{nx}x(1-v)\left(f''\left(x+v\sqrt{\frac{x}{n}}S_{nx} \right) -f''(x)\right)dv\right] \end{eqnarray*}$ ,

wobei $\begin{eqnarray*} S_m=m^{-1/2}\sum_{k=1}^m (X_k-1),f\in C_c^{\infty}[0,\infty). \end{eqnarray*}$

Der Subtrahend der Differenz auf der linken Seite ergibt sich doch aus
$\begin{eqnarray*} E\left[ \int_0^1 S^2_{nx}x(1-v)f''(x)dv\right] \end{eqnarray*}$
oder?!

Aber wie komm ich auf den Minuend der Differenz?
Ich hoffe mir kann da jemand auf die Sprünge helfen!

Gruß,
Manolo

25.09.2009, 13:00

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Zitat:

Original von Manolo81
Der Subtrahend der Differenz auf der linken Seite ergibt sich doch aus
$\begin{eqnarray*} E\left[ \int_0^1 S^2_{nx}x(1-v)f''(x)dv\right] \end{eqnarray*}$
oder?!

Ohne jetzt groß was gerechnet zu haben: Der Faktor $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ im Integranden kommt mir alles andere als geheuer vor. Sicher, dass da nicht einfach

$\begin{eqnarray*} E\left[ \int_0^1 S^2_{nx} \cdot (1-v)f''(x) ~ \dd v\right] \end{eqnarray*}$

gestanden hast und du das Multiplikationssymbol als $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ fehlgedeutet hast? verwirrt

Jedenfalls kann man das Integral dann vereinfachen

$\begin{eqnarray*} \int_0^1 S^2_{nx} \cdot (1-v)f''(x) ~ \dd v = S^2_{nx}f''(x) \cdot \int_0^1(1-v) ~ \dd v = \frac{1}{2} S^2_{nx}f''(x) \end{eqnarray*}$ .

25.09.2009, 14:40

Manolo81

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Vielen Dank für die Antwort.

Das $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ müsste aber passen (hab auch nochmal nachgeschaut, hab mich nicht vertippt).
Denn ohne dem $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ würde man doch
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}E\left[\left(\frac{1}{\sqrt{nx}}\sum_{k=1}^{nx} (X_k-1)\right)^2\right]f''(x) \end{eqnarray*}$
erhalten!?!

Damit hätte man aber wie gesagt nur den einen Teil der Differenz, wie man aber auf den anderen kommt ist mir immer noch nicht klar?

Gruß
Manolo

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