Konvergenz der Reihe 1/[k*sqrt(k)]

25.09.2009, 14:24

Mathomaticer

Konvergenz der Reihe 1/[k*sqrt(k)]

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^\infty ~\frac{1}{k* \sqrt{k} } \end{eqnarray*}$ konvergiert

Aufgaben Stellung lautet Berechnen, zeigen sie:
Dachte zuerst an Majoranten / Minoranten Kritierium.... aber komme leider auf keinen grünen Zweig.

Zweite aufgabe wäre wenn möglich :

$\begin{eqnarray*} x^{3} = o(e^{x}), x -> +\infty \end{eqnarray*}$

leider weiß ich hier ncht was zu tun ist? außer das ein e^x immer größer ist wie x^3 ^^

genau so wie Fakultät schlägt immer Augenzwinkern

aber formaler beweis?

25.09.2009, 14:37

kiste

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Integralkriterium passt.

Zum zweiten reicht es zu zeigen dass x^3/e^x gegen 0 geht.

25.09.2009, 14:53

Mathomaticer

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$\begin{eqnarray*} \frac{ - 2}{\sqrt{k} } \end{eqnarray*}$

das wäre das integral und das ist immer <1???? das geht gegen -2?? stimmt das???

und zur 2ten aufgabe

wie mach ich das?

25.09.2009, 15:05

Der Lustige Peter

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nicht ganz. Schreib's mal aus!

25.09.2009, 15:09

kiste

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zum zweiten: L'Hospital

25.09.2009, 15:12

Mathomaticer

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Wie ausschreiben? bitte genauere Anweisungen Big Laugh

darf man hier Le hospital einfach anwenden ???

wenn ja steht
6/e^x das stimmt dann natürlich!

25.09.2009, 15:20

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Ein Nachtrag zur ersten Reihe:

Zitat:

Original von Mathomaticer
Dachte zuerst an Majoranten / Minoranten Kritierium

Geht auch, ist aber letztendlich verkapptes Integralkriterium durch die Hintertür: Für $\begin{eqnarray*} k\geq 2 \end{eqnarray*}$ schätzt man

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{k-1}} - \frac{1}{\sqrt{k}} = \frac{\sqrt{k}-\sqrt{k-1}}{\sqrt{k}\cdot \sqrt{k-1}} = \frac{1}{\sqrt{k}\cdot \sqrt{k-1}(\sqrt{k}+\sqrt{k-1})} > \frac{1}{2k\sqrt{k}} \end{eqnarray*}$

ab und hat dann als Majorante eine Teleskopreihe

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{\infty} ~ \frac{1}{k\cdot \sqrt{k}} < 1 + 2\cdot \sum_{k=2}^{\infty} ~ \left( \frac{1}{\sqrt{k-1}} - \frac{1}{\sqrt{k}} \right) = 3 \end{eqnarray*}$ .

25.09.2009, 15:20

Der Lustige Peter

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Das Integral sollst du ausschreiben. Es stimmt, dass das Integral existiert, aber ich glaube bei dem Wert hast du dich verrechnet.

25.09.2009, 15:25

Mathomaticer

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$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{k}*k } = \frac{1}{\sqrt{k}*\sqrt{k}*\sqrt{k}}=\frac{1}{\sqrt{k}^3 }=\sqrt{k}^{-3/2}<br /> \end{eqnarray*}$

davon das integral

25.09.2009, 15:36

mathomaticer

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natürlich nur k^-3/2 meinte ich, nciht mehr die wurzel

25.09.2009, 15:51

Der Lustige Peter

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Zitat:

Original von Mathomaticer
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{k}*k } = \frac{1}{\sqrt{k}*\sqrt{k}*\sqrt{k}}=\frac{1}{\sqrt{k}^3 }=\sqrt{k}^{-3} \end{eqnarray*}$

davon das integral

Genau Integral nach Integralkriterium. Da hast du dich meiner Ansicht nach verrechnet. Nicht dass es von Bedeutung wäre...

25.09.2009, 15:58

Mathomaticer

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Wobei hab ich mich verrechnet?!

$\begin{eqnarray*} k^{\frac{-3}{2} } \end{eqnarray*}$
davon das integral ist

$\begin{eqnarray*} -2*k^{\frac{-1}{2} } \end{eqnarray*}$
das in den grenzen Unendlich und 1 ausgewertet ergibt bei mir

$\begin{eqnarray*} \frac{-2}{ \sqrt{\infty } } + \frac{2}{\sqrt{1} } = 2 \end{eqnarray*}$

und da das < $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ ist müsste die Konvergenz bewiesen sein. oder?!

25.09.2009, 16:24

Der Lustige Peter

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Zitat:

Original von Mathomaticer
das geht gegen -2?

25.09.2009, 19:17

Mathomaticer

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stimmt natürlich meinte auch -0.... sorry aber mein letzer beitrag dürfte das problem dann gelöst haben? smile

wer jetzt noch lust hat kann mir gerne einen beweis liefern das man potenzreihen differenziert indem man sie gliedweise differenziert^^ so das ich ihn auch verstehe

mfg!

und von der mehrdimensionalen analysis möcht ich noch gar nicht sprechen
smile

25.09.2009, 19:23

WebFritzi

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@Mathomaticer: Du solltest deine Rechtschreibung dringend verbessern.

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Konvergenz der Reihe 1/[k*sqrt(k)]

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