Finden einer Ebenengleichung mit Hilfe der Lage zu einer Geradenschar

25.09.2009, 19:32	Lisa89	Auf diesen Beitrag antworten »
Finden einer Ebenengleichung mit Hilfe der Lage zu einer Geradenschar Hey ich bräuchte noch mal eure Hilfe ich hab die gerade ga: $\begin{eqnarray} \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 2\end{pmatrix} + r \begin{pmatrix} 2a \\ 2 \\ a \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ Aufgabenstellung: Alle geraden ga liegen in einer Ebene H. Stellen Sie eine Gleichung der Ebene in Parameterform und in Koordinatenform auf. meine erste überlegen war, dass die beiden Richtungvektoren linear abhängig sein müssen zu dem richtungvektor der geradenschar. Aber irgendwann hab ich mal gelernt das die beiden Richtungsvektoren der Ebene immer linearunabhängig sein müssen. Das widerspricht sich doch oder? Ausserdem soll der stützvektor der geraden - stützvektor der Ebene unabhängig zu den beiden Richtungsvektoren der Ebene sein. bin verwirrt lg
25.09.2009, 20:26	Kopfrechner	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Finden einer Ebenengleichung mit Hilfe der Lage zu einer Geradenschar Hallo, wähle Dir zwei Werte für a und bestimme die Richtungsvektoren der zugehörigen Geraden (und prüfe vorsichtshalber, ob sie lin. unabhängig sind). Dann kannst du mit diesen die Ebene aufstellen (und wiederum prüfen, ob denn alle Geraden der Schar wirklich in E liegen. Gruß, Kopfrechner
25.09.2009, 21:40	Lisa89	Auf diesen Beitrag antworten »
hey ich hab jetzt für a folgende werte eingesetzt a=1 und a=2 dann waren die richtungsvektoren auch linear unabhängig dann hab ich den selben stützvektor wie in der Geraden genommen... und dann die Geradengleichung mit der Ebenengleichung gleichgesetzt und so ein LGS aufgestellt : $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 2r & 4s & -2a \\ 2r & 2s & -2a \\ r & 2s & -2a \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ aber das widerspricht sich doch ? Ich glaub ich hab irgendwas mit dem Parameter a falsch gemacht oder
26.09.2009, 01:01	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Du hast den Tipp falsch verstanden. Du solltest als Stützpunkt (2; 2; 2) und als die beiden Richtungsvektoren (2; 2; 1) und (4; 2; 2) heranziehen. Allerdings hättest du vorher noch sicherzustellen bzw. zu zeigen, dass bereits drei aus verschiedenen Werten von a entstandene Vektoren komplanar bzw. lin. abhängig) sind, d.h. in einer Ebene liegen. Dieser Sachverhalt ist nicht schwer zu verifizieren ... mY+ Nachtrag: Man kann auch allgemein zunächst auf zwei von zwei voneinander verschiedenen a erstellte Richtungsvektoren den Normalvektor bilden. Dieser ist (o. B. d. A.) unabhängig von den Werten des Parameters a und dient dann zugleich auch für die Berechnung der Ebenengleichung: $\begin{eqnarray} \vec n = \begin{vmatrix} 2a_1 & 2a_2 & \vec i \\ 2 & 2 & \vec j \\ a_1 & a_2 & \vec k \end{vmatrix} = \begin{pmatrix} -2(a_1 - a_2) \\ 0 \\ 4(a_1 - a_2) \end{pmatrix} = \ldots \end{eqnarray}$ : Vorzeichenfehler bei der ersten Komponente des Vektors berichtigt. Dies gilt o.B.d.A. für beliebige Paare $\begin{eqnarray} a_r, a_s \ \text{mit} \ r \neq s \end{eqnarray}$
27.09.2009, 21:46	Lisa89	Auf diesen Beitrag antworten »
nach längerem hin und her ist der Groschen gefallen =) danke
27.09.2009, 21:53	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Zum Endergebnis: Der Normalvektor ist demnach (-1; 0; 2), weil man den Faktor 2(a1 - a2) ausklammern kann. Das heisst, dass die Richtung des Normalvektors unabhängig von der Wahl des Parameters a ist. Somit liegen alle Geraden der Schar in jener Ebene durch den Punkt (2, 2; 2), die den o.g. Normalvektor besitzt. mY+ ) Leider hatte ich im vorigen Beitrag ein Vorzeichen vergessen. Das wurde jetzt editiert.
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