Menge - abzaehlbar und perfekt

Neue Frage »

ge88 Auf diesen Beitrag antworten »
Menge - abzaehlbar und perfekt
Sei abzaehlbar und perfekt. Zeigen Sie, dass dann dicht in liegt. Wieso folgt hieraus die Ueberabzaehlbarkeit der Cantor-Menge?


Ich kann nicht mal anfangen, denn fuer mich ergibt die Aufgabenstellung noch keinen Sinn: M ist abgeschlossen, also gilt , aber das stimmt in dem Fall wohl nicht, denn wie ist dann zu verstehen?
Danke!
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Hab die Frage gelesen und jetzt bin ich auch an einer Antwort interressiert. Ich finde dieses M schon komisch. M soll abzählbar sein, das heisst M hat keine Häufungspunkte. Nun soll M aber auch perfekt sein. Das heisst M ist gleich der Menge der Häufungspunkte von M. Das würde sofort bedeuten das M die leere Menge sein muss. Irgendwo hab ich einen starken Denkfehler schätze ich, aber echt mal eine interessante Aufgabe Augenzwinkern

edit:

Habe meinen Fehler gefunden , abzählbare Mengen können sehr wohl Häufungspunkte haben.

Nichts für ungut
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Die Aufgabe ist wirklich verwirrend, denn ich dachte, dass jede perfekte Menge überabzählbar ist, wenn man die leere Menge nicht zu den perfekten Mengen zählt.
ge88 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Huggy
ich dachte, dass jede perfekte Menge überabzählbar ist

warum?
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe eine trübe und daher unzuverlässige Erinnerung an einen entsprechenden Satz.
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Glaube jetzt beweisen zu können, dass jede perfekte (nicht leere) Teilmenge von überabzählbar ist.

Sei perfekt und nicht leer. Dann hat jedes offene Intervall, das mindestens einen Punkt aus M enthält, mindestens abzählbar-unendlich viele Punkte aus M. Denn enthielte es nur endlich viele Punkte, wären das alles isolierte Punkte und dann wäre M nicht perfekt.

Jetzt wird ein Binärbaum aus Punkten konstruiert, die alle zu M gehören. Jedem Punkt wird ein offenes Intervall zugeordnet, in dem der Punkt liegt. Es wird nicht behauptet, dass dieses offene Intervall Teilmenge von M ist. Man beginnt mit einem beliebigen Punkt . Sei ein beliebiges offenes Intervall in mit .

In werden zwei beliebige Punkte und ausgewählt, die voneinander und von verschieden sein sollen. Diesen Punkten werden die Intervalle und zugeordnet. Neben und wird gefordert:

- und liegen ganz in .
- und sind disjunkt
- die Länge von und ist maximal die Hälfte der Länge von
Diese Forderungen sind offensichtlich erfüllbar.

Zu den Punkten und werden jetzt nach dem gleichen System je zwei Nachfolgerpunkte mit den zugehörigen Intervallen konstruiert. Die beiden Nachfolger von werden mit und bezeichnet, die Nachfolger von mit und . Analog erfolgt die Bezeichnung der zugehörigen Intervalle. Zu den neuen Punkten werden nach gleichem System wieder Nachfolgerpunkte konstruiert usw.

Durchläuft man nun den Binärbaum ausgehend von auf einem beliebigen Pfad, erhält man eine Folge von Punkten mit und den zugehörigen Intervallen . Die Intervallfolge bildet eine Intervallschachtelung, da jedes Intervall ganz im Vorgängerintervall liegt und die Intervalllänge sich jedesmal mindestens halbiert. Daher konvergiert die Punktfolge gegen einen Grenzwert . Dieser Grenzwert ist Häufungspunkt von M, gehört also zu M, da M perfekt ist.

Verschiedene Pfade des Binärbaums ergeben verschiedene Grenzwerte, da an jeder Verzweigung die Nachfolgerintervalle disjunkt sind. Die Anzahl verschiedener Grenzwerte, die man so konstruieren kann und die alle zu M gehören ist gleich der Anzahl verschiedener Pfade des Binärbaums. Jeder Pfad wird entsprechend der Bezeichnung der Punkte eindeutig durch eine Folge mit gekennzeichnet. Und die Anzahl solcher Folgen ist überabzählbar, wie die Darstellung der reellen Zahlen im Dualsystem zeigt.


Bleibt die Frage: Ist das alles so korrekt? Und wenn ja, was ist dann mit der Aufgabe?
 
 
ge88 Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist verstaendlich, jedoch bin ich nicht kompetent genug um zu entscheiden, ob das alles so korrekt ist. Habe aber inzwischen etwas dubioses gefunden: laut dem Buch (woher auch die Aufgabe stammt) die Menge ist abzaehlbar, perfekt und nicht abgeschlossen. Es scheint, dass fuer die Autoren ist die Aufgabe doch irgendwie sinnvoll..
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist mehr als dubios, widerspricht es doch der gängigen Definition von perfekt. Wie definiert denn dieses Buch perfekt?
ge88 Auf diesen Beitrag antworten »

Aufgabe 1.2
Eine Menge heisst perfekt, falls sie keine isolierten Punkte besitzt, d.h. jeder Punkt ist Haeufungspunkt von M.
Finden Sie eine Menge M, die
(a) sowohl abgeschlossen als auch perfekt, (b) abgeschlossen, aber nicht perfekt, (c) perfekt, aber nicht abgeschlossen, (d) weder abgeschlossen noch perfekt ist.


Schon krass.
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist in der Tat eine andere Definition, weil Huggy von der Definition ausgegangen ist, dass weiterhin auch jeder Häufungspunkt in M liegt, spricht M gleich die Menge der Häufungspunkte von M ist.

So macht die Aufgabe dann auch einen Sinn.

Man kann den Beweis indirekt führen. Nehme an, liegt nicht dicht in und konstruiere unter der Vorraussetzung einen isolierten Punkt in M.
ge88 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich bin auch davon ausgegangen - dachte nicht, dass die Definition auf einmal anders aussieht..

Sei perfekt, d.h. es gilt , wobei bezeichnet die Menge aller Haeufungspunkte von M.

Es ist , also .

Annahme: liegt nicht dicht in

.

Das bedeutet aber, dass es ein gibt mit . Widerspruch, denn es gilt .

Ist das ok? Was ist mit der Abzaehlbarkeit?
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Wie kommst du auf ?

Damit bin ich nicht einverstanden.
ge88 Auf diesen Beitrag antworten »

Jo, sorry.

Es ist .

Damit ergibt sich

.
ge88 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Leutz,

Selbst wenn das, was ich zuletzt geschrieben habe, stimmen wuerde, ist die Aufgabe damit nicht geloest, denn:

1) die Abzaehlbarkeit wurde nirgendwo benutzt,
2) die Ueberabzaehlbarkeit der Cantor-Menge laesst sich daraus nicht folgern.

Da ich zu 2) nur Begruendungen mithilfe der Cantor-Funktion (bzw. der ternaeren Darstellung) gesehen habe, bin echt neugierig, wie das damit funktioniert. Um ganz ehrlich zu sein, habe die Aufgabe nur wegen der Cantor-Menge angefangen, daher wuerde mich ueber Tipps oder Erklaerungen freuen. Danke.
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn man die Behauptung als gegeben betrachtet, kann man so auf die Cantor-Menge schließen:

ist die Menge der Häufungspunkte von M, die nicht zu M gehören. Sei x ein solcher Punkt. Wenn M die Cantor-Menge ist, gehört also x nicht zu ihr. Die Punkte, die nicht zur Cantor-Menge gehören, emtstehen nun aber durch Wegnahme offener Intervalle, lliegen also in einem offenen Intervall, das als Ganzes nicht zur Cantor-Menge gehört. Daher kann x kein Häufungspunkt der Cantormenge sein. Also ist die die Menge leer, wenn M die Cantormenge ist. Die leere Menge kann aber nicht dicht in liegen.

Also kann für die Canto-Menge die Voraussetzung der Behauptung nicht gegeben sein. Also ist die Cantor-Menge nicht perfekt im Sinne der Definition von perfekt des Buches oder sie ist nicht abzählbar. Die Cantor-Menge ist in diesem Sinne oerfekt, weil sie keine isolierten Punkte hat. Also ist die Cantor-Menge nicht abzählbar. Also ist sie überabzählbar.
ge88 Auf diesen Beitrag antworten »

Sehr gut erklaert! Vielen Dank!
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »