Grenzwertbestimmung von Trigo-Termen :D

24.09.2006, 16:20

Tomás Toíbín

Auf diesen Beitrag antworten »

Grenzwertbestimmung von Trigo-Termen :D

So da bin ich nochma Augenzwinkern

Augenzwinkern

Es geht wieder um Grenzwertberechnung...

Mein Buch bietet zu folgenden Aufgaben keinerlei Hilfe oder Erklärung....

Bestimmen sie den Grenzwert von folgenden Termen:

a) tan x ; $\begin{eqnarray*} [x]_0 \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\pi} \end{eqnarray*}$

Mein/e Versuch/Antwort:
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \frac{1}{\pi}} tan x \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} tan \lim_{x \to \frac{1}{\pi}} x \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} tan\frac{1}{\pi} \end{eqnarray*}$ = 1

b) sin $\begin{eqnarray*} \frac{1}{x} \end{eqnarray*}$ ; $\begin{eqnarray*} [x]_0 \end{eqnarray*}$ = 0

...

ich hab keinen blassen Schimmer wie ich das anstellen soll.
Brauche unbedingt Hilfe Augenzwinkern

Augenzwinkern

----------------------------

greetz und danke im voraus Augenzwinkern

Augenzwinkern

24.09.2006, 16:27

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Grenzwertbestimmung von Trigo-Termen :D

Zitat:

Original von Tomás Toíbín
$\begin{eqnarray*} tan\frac{1}{\pi} \end{eqnarray*}$ = 1

verwirrt

Das 2. soll vermutlich das sein:
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} sin(\frac{1}{x }) \end{eqnarray*}$

Wenn ja: was passiert den mit dem Argument im sin, wenn das x gegen Null geht?

24.09.2006, 16:30

Tomás Toíbín

Auf diesen Beitrag antworten »

nein, nein, nein Big Laugh

Big Laugh

$\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$

dann wäre das richtig,

zu b... ist mir deswegen nichts eingefallen, aber es würde gegen unendlich gehen. Nur was mach ich denn mit dem $\begin{eqnarray*} sin \infty \end{eqnarray*}$ oO Big Laugh

Big Laugh

24.09.2006, 16:33

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Grenzwertbestimmung von Trigo-Termen :D
Also die 1. Aufgabe ist
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \pi/2}tan(x) \end{eqnarray*}$

und die 2. das:
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} sin(\frac{1}{x }) \end{eqnarray*}$

oder was jetzt?

24.09.2006, 16:35

Tomás Toíbín

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Grenzwertbestimmung von Trigo-Termen :D
genau, ich hatte bei der ersten das $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ bloss falsch geschrieben

EDIT:

mir war so als ob

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1 \end{eqnarray*}$

stimmt das? bin mir nicht mehr sicher, lange her Big Laugh

Big Laugh

24.09.2006, 16:39

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Grenzwertbestimmung von Trigo-Termen :D
Das stimmt zwar, aber hat nichts mit der obigen Aufgabe zu tun. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Anzeige

24.09.2006, 16:40

Tomás Toíbín

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Grenzwertbestimmung von Trigo-Termen :D
da haste recht, aber das sind nicht alle Big Laugh

Big Laugh

und ich kann nen paar umformen :P

also nochmal zum $\begin{eqnarray*} sin \infty \end{eqnarray*}$ ...
was wird aus dem? Big Laugh

Big Laugh

24.09.2006, 16:43

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Grenzwertbestimmung von Trigo-Termen :D
Da es unendlich als Zahl nicht gibt, gibt es auch nicht den Ausdruck $\begin{eqnarray*} sin(\infty) \end{eqnarray*}$ . Überlege mal, wie der Sinus läuft, wenn du auf der x-Achse immer weiter nach rechts läufst.

24.09.2006, 16:48

Tomás Toíbín

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Grenzwertbestimmung von Trigo-Termen :D
jaja... an sowas denk ich immer nie unglücklich

unglücklich

so... ich habe gemerkt mein hauptproblem bei solchen aufgaben liegt am umformen...

z.B. (Aufgabenstellung bleibt die selbe...)

$\begin{eqnarray*} \frac {cos(x) -1}{x} ; x_0 = 0 \end{eqnarray*}$

wie könnte ich das umformen?

24.09.2006, 16:52

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Grenzwertbestimmung von Trigo-Termen :D
Also $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0}\frac {cos(x) -1}{x} \end{eqnarray*}$

Das kann man auch so schreiben:
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0}\frac {cos(x) - cos(0)}{x - 0} \end{eqnarray*}$

Jetzt denke mal an die Definition der Ableitung. Augenzwinkern

Augenzwinkern

24.09.2006, 17:02

Tomás Toíbín

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Grenzwertbestimmung von Trigo-Termen :D
Naja, ich weiss was du meinst... aber bei mir machts irgendwie nich klick... traurig

traurig

willst du auf die h-methode hinaus.. ? unglücklich

unglücklich

24.09.2006, 17:08

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Grenzwertbestimmung von Trigo-Termen :D
Betrachte f(x) = cos(x). Wie lautet die Definition der Ableitung f'(0) mit dem Differenzenquotienten?

24.09.2006, 17:15

Tomás Toíbín

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Grenzwertbestimmung von Trigo-Termen :D
$\begin{eqnarray*} \frac {cos (x+h) - cos (x)}{h} \end{eqnarray*}$ !? ehrlich gesagt ich bin vollkommen überfordert...

bzw:

$\begin{eqnarray*} \frac {cos(x) - cos(x_0)}{x-x_0} \end{eqnarray*}$

das in unserem falle ja

$\begin{eqnarray*} \frac {cos(x) - cos(0)}{x-0} \end{eqnarray*}$

wäre

-edit-

Lösung!?

$\begin{eqnarray*} \frac {cos (x+h) - cos (x)}{h} \end{eqnarray*}$

= $\begin{eqnarray*} \frac {-2(sin (\frac {x+h+x}{2}))(sin(\frac {x+h-x}{2}))}{h} \end{eqnarray*}$

= $\begin{eqnarray*} \frac {-2(sin (x + \frac {h}{2}))(sin(\frac {h}{2}))}{h} \end{eqnarray*}$

= $\begin{eqnarray*} -(sin (x + \frac {h}{2}))\frac {(sin(\frac {h}{2}))}{\frac {h}{2}} \end{eqnarray*}$

= $\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0}-(sin (x + \frac {h}{2}))\frac {(sin(\frac {h}{2}))}{\frac {h}{2}} \end{eqnarray*}$

= $\begin{eqnarray*} -(sinx + 0) * 1 \end{eqnarray*}$

= $\begin{eqnarray*} -sin x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0}-sin x = -sin 0 = 0 \end{eqnarray*}$

- edit #2 -

Ich hab das nochma durchrerechnet und bin zu einem ganz simplen Lösungsweg gekommen:

Wenn man den ersten Bruch einfach mit (cos(x) +1) erweitert erhält man folgenden Term:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \frac{(cos(x)-1)(cos(x)+1}{x(cos(x)+1)} \end{eqnarray*}$

= $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \frac{-sin²x}{x(cos(x)+1)} \end{eqnarray*}$

= $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \frac{-sinx}{x} \end{eqnarray*}$ * $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} sinx \end{eqnarray*}$ * $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \frac{1}{(cos(x)+1)} \end{eqnarray*}$

= $\begin{eqnarray*} -1 * 0 * \frac{1}{2} = 0 \end{eqnarray*}$
--------------
Ich Kann den Bruch zerlegen, da alle entstehenden Grenzwerte definiert sind... so einfach kanns aussehen Big Laugh

Big Laugh

P.S. Stimmt meine Rechnung eigtl. mit der h-Methode? Also ist es zulässig so den Grenzwert zu bestimmen... oder hatte ich einfach nur Glück, das die richtige Lösung rausgekommen ist? óÒ

25.09.2006, 15:59

Tomás Toíbín

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich weiss, Push Beiträge sin nicht so schön, aber ich hätte doche gerne nochma HILFE Big Laugh

Big Laugh

25.09.2006, 16:31

ich bin smile

Auf diesen Beitrag antworten »

Wieso HILFE?

Wie ich das sehe, ist alles richtig. Freude

Freude

25.09.2006, 16:34

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Grenzwertbestimmung von Trigo-Termen :D
Tut mir leid. habe ich irgendwie übersehen.

Also die Rechnung mit dem Bruch erweitern ist ok.

Mit der Ableitung und dem Differenzenquotienten geht das so:

Wir betrachten f(x) = cos(x) und schreiben die Definition für f'(0) hin:

$\begin{eqnarray*} f'(0) = \lim_{h \to 0} \frac {cos (h) - cos (0)}{h} \end{eqnarray*}$

Der Grenzwert auf der rechten Seite ist genau das, was wir wollen und er stimmt mit f'(0) überein. Nun ist f'(x) = -sin(x) und f'(0) = 0. fertig.

26.09.2006, 14:51

Tomás Toíbín

Auf diesen Beitrag antworten »

danke, genau das wollte ich ja wissen Augenzwinkern

Augenzwinkern

war mir nich so sicher, ob das alles so in ordnung war Augenzwinkern

Augenzwinkern

jetz bin ich aber ein wenig beruhigt, und hab nich mehr soooo viel angst vor der klausur morgen Big Laugh

Big Laugh

danke nochma an alle Beteiligten, Gruß Tomás

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »