geschlossene 1-Form

25.09.2009, 23:13	Hans87	Auf diesen Beitrag antworten »
geschlossene 1-Form Hallo, wir haben bei Einführung des Kurvenintegrals eine 1-Form a als geschlossen definiert, wenn del_i(a_j)=del_j(a_i) gilt f.a. i,j. (Sorry, die partielle Ableitung gibt's im Editior nicht). Später in Ana3 haben wir geschlossene Formen definiert, als Formen, für die da=0 gilt. Ich sehe gerade nicht, warum dies für 1-Formen äquivalent ist. Kann mir jemand kurz auf die Sprünge helfen?
26.09.2009, 00:55	Sly	Auf diesen Beitrag antworten »
Aber klar doch. Aber erstmal: der passende Befehl heißt /partial Also: eine 1-Form im Sinne von Ana3 ist ja ein Objekt der Form $\begin{eqnarray} \omega = f_1\cdot dx_1 + f_2\cdot dx_2 + \dots + f_n\cdot dx_n \end{eqnarray}$ Man kann diese 1-Formen oft identifizieren mit stinknormalen Vektorfeldern, also entspricht $\begin{eqnarray} \omega \end{eqnarray}$ einem Objekt der Form $\begin{eqnarray} f = \begin{pmatrix} f_1 \\ f_2 \\ \vdots \\ f_n \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Genau dies geschieht in der Regel in den Ana2 Vorlesungen. Man definiert dort, wie du sagst, Geschlossenheit durch $\begin{eqnarray} \frac{\partial f_i}{\partial x_j} = \frac{\partial f_j}{\partial x_i}\quad\forall i,j=1,\dots,n \end{eqnarray}$ Nun schauen wir uns die Definition aus Ana3 an. Berechnen wir dazu allgemein das Differential $\begin{eqnarray} \begin{matrix} d\omega & = & \displaystyle d\left( \sum_{i=1}^n f_i dx_i \right) \\<br /> & = & \displaystyle \sum_{i=1}^n df_i\wedge dx_i \\<br /> & = & \displaystyle \sum_{i=1}^n \left( \sum_{j=1}^n \frac{\partial f_i}{\partial x_j} dx_j\wedge x_i \right) \\<br /> & \stackrel{\star}{=} & \displaystyle \sum_{1\leq j \leq i \leq n} \left( \frac{\partial f_i}{\partial x_j} - \frac{\partial f_j}{\partial x_i} \right) dx_j \wedge dx_i<br /> \end{matrix} \end{eqnarray}$ Besonders der letzte -Schritt ist hier wichtig, da benutzt man die Eigenschaften des Dachproduktes. Nun setzen wir das gleich Null: Falls i=j, so ist sowieso $\begin{eqnarray} \frac{\partial f_i}{\partial x_j} = \frac{\partial f_j}{\partial x_i} \end{eqnarray}$ Falls $\begin{eqnarray} i\neq j \end{eqnarray}$ , so muss schon der Koeffizient bei jedem Summanden dieser Art Null sein. Es folgt wieder $\begin{eqnarray} \frac{\partial f_i}{\partial x_j} = \frac{\partial f_j}{\partial x_i} \end{eqnarray*}$ Und somit insgesamt auch die alte Eigenschaft.
26.09.2009, 17:56	Hans87	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für die ausführliche Erklärung!

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »