holomorphe funktion

26.09.2009, 12:00

ebichu

holomorphe funktion

Hi zusammen.
Ich muss herausfinden, ob folgende funktion holomorph ist:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{(a+ib)^2-i} \end{eqnarray*}$

wenn ich das in die normalform bringe, bekomm ich:

$\begin{eqnarray*} \frac{(a^2-b^2)}{(a^2-b^2)^2+(2ab-1)^2}-\frac{i*(2ab-1)}{(a^2-b^2)^2+(2ab-1)^2} \end{eqnarray*}$ g]

Ehrlich gesagt habe ich keine lust, hier die Cauchy-Riemann Bedingungen anzuwenden, die ableitungen sind da jeweils ein riesen schlauch mit 10 Flüchtigkeitsfehlern.

Kann mir jemand sagen, wie ich da etwas eleganter rangehen kann?

danke schonmal

glg
ebi

26.09.2009, 13:28

system-agent

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Das was du geschrieben hast ist ein Term, keine Funktion. Aber OK.
Nehme ich mal an, dass $\begin{eqnarray*} z=a+ib\in\mathbb C \end{eqnarray*}$ gemeint ist mit $\begin{eqnarray*} a,b\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ , dann schreibt sich dir Funktion als
$\begin{eqnarray*} f(z)=\frac{1}{z^2-i} \end{eqnarray*}$
Bestimme zuerst den maximalen Definitionsbereich. Dann überlege dir:
Die Verkettung holomorpher Funktionen ist holomorph. Wieso hift das?

26.09.2009, 13:52

ebichu

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hallo
danke für die antwort

Also die funktion ist überall definiert ausser bei z^2 = i

Ausserdem hab ich versucht, den Nenner mithilfe der Binomischen formel zu faktorisieren

Somit erhalte ich:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{(z-\sqrt{i} )(z+\sqrt{i})} \end{eqnarray*}$

ist das der richtige weg?
glg

26.09.2009, 16:31

system-agent

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Zitat:

Original von ebichu

Ausserdem hab ich versucht, den Nenner mithilfe der Binomischen formel zu faktorisieren

Das ist für die Holomorphie aber nicht wichtig.

Ausserdem: Was soll bitte " $\begin{eqnarray*} \sqrt{i} \end{eqnarray*}$ " bedeuten? "Einfach so" Wurzelziehen klappt im Komplexen nicht. Soll heissen: Das Symbol ist ohne Kommentar sinnlos.

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