Vorgehensweise: Metriken u. offene Mengen

26.09.2009, 13:01	Problemfall	Auf diesen Beitrag antworten »
Vorgehensweise: Metriken u. offene Mengen Hallo! Ich habe grad glaub ich ein dickes Verständnisproblem... Also, ich habe eine Aufgabe in der ich zunächst zeigen soll, dass eine Abbildung d' eine Metrik ist und dass diese dann bezüglich der üblichen Metrik d x,y)=\|x-y\| die selben offenen Mengen definiert. Den ersten Teil habe ich einfach nachgerechnet, aber beim zweiten Teil fehlt mir der Lösungsansatz... Muss ich mich um die Definition von offenen Mengen bemühen? Da steckt ja in der Definition von einem Epsilon-Ball eine Metrik drin ( B_Epsilon(a)={x in X mit d'(a,x)<=Epsilon} ) ... Aber ich seh trotzdem nicht wie ich vorgehen soll/muss. Könnt ihr mir vllt Hilfe geben? Danke, der Problemfall
26.09.2009, 13:20	Mazze	Auf diesen Beitrag antworten »
Eine Menge M heisst offen bezüglich einer Metrik d wenn es für alle $\begin{eqnarray} x \in M \end{eqnarray}$ ein $\begin{eqnarray} \varepsilon > 0 \end{eqnarray}$ gibt so dass $\begin{eqnarray} B_{\varepsilon,d}(x) \subset M \end{eqnarray}$ . Ich habe hier für Epsilonumgebung explizit das d in den Index genommen, obwohl mans üblicherweise nicht mit schreibt. Allerdings formuliert sich die Aufgabe dann schöner, wenn Du zeigen willst dass zwei Metriken $\begin{eqnarray} d,d' \end{eqnarray}$ die gleichen offenen Mengen definieren zeigst Du für eine Teilmenge M von X : $\begin{eqnarray} \forall x \in M ~ \exists \varepsilon > 0 ~ B_{\varepsilon,d}(x) \subset M \Leftrightarrow \forall x \in M ~ \exists \varepsilon > 0 ~ B_{\varepsilon,d'}(x) \subset M \end{eqnarray}$ Das heisst Du hast zwei Richtungen zu zeigen.
26.09.2009, 14:29	Problemfass	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke erstmal für die schnell Antwort: Ok, es geht zum einem um die Standard-Metrik d(x,y)=\|x-y\| und zum anderen um d'(x,y)=arctan \|x-y\| Hm, für die "Rückrichtung" würde mir spontan einfallen, dass im Intervall [0,1] x sicherliche kleiner oder gleich arctan(x) ist und deshalb sollte gelten: $\begin{eqnarray} B_{\varepsilon_d}\subseteq B_{\varepsilon,d'}(a) \end{eqnarray}$ Setze ich dann voraus, dass eine Teilmenge M offen ist bezüglich d' sollte daraus folgen, dass sie dann insbesondere auch bezüglich d offen ist. oder? Allerdings fällt mir für die "Hinrichtung" nichts ein...
26.09.2009, 16:56	Mazze	Auf diesen Beitrag antworten »
Schau Dir mal folgendes an : $\begin{eqnarray} \|x - y\| < \varepsilon \Leftrightarrow \arctan (\|x-y\|) < \arctan(\varepsilon) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \arctan(\|x - y\|) < \varepsilon \Leftrightarrow (\|x-y\|) < \tan(\varepsilon) \end{eqnarray}$ Du musst nur Begründen warum die Äquivalenzen gelten (Stichwort strenge Monotonie) und dann kannst Du die Epsilonbälle direkt ineinander umrechnen.
27.09.2009, 15:03	Problemfall	Auf diesen Beitrag antworten »
Jo, besten Dank! Das werd ich mal versuchen!
01.05.2010, 12:35	Jemandin	Auf diesen Beitrag antworten »
hallo, "...und dann kannst Du die Epsilonbälle direkt ineinander umrechnen. " ich kann irgendwie nicht so ganz verstehen, was damit gemeint ist. Kann das jmd nochmal etwas genauer erläutern?
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01.05.2010, 14:56	Mazze	Auf diesen Beitrag antworten »
Du willst doch zeigen das eine Menge M die bezüglich der einen Metrik offen ist, auch offen bezüglich der anderen Metrik ist. Wir setzen für die Hinrichtung voraus das M offen bezüglich d ist, dann gibt es also für alle x ein Epsilon so das $\begin{eqnarray} B_{\varepsilon,d} \subset M \end{eqnarray}$ Jetzt können wir, dank der Äquivalenzen einen Ball $\begin{eqnarray} B_{\epsilon',d'} = B_{\varepsilon,d} \end{eqnarray}$ finden. Und das wars auch schon.

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