Beweis der linearen Abhängigkeit v. a/b/0

26.09.2009, 16:13

Soniya

Beweis der linearen Abhängigkeit v. a/b/0

Hallo!!

Ich sitze i-wie schon ewig an folgender Aufgabe, die-ich bin mir sicher-recht einfach und schnell zu lösen sein muss. Denn sie hatte noch einen anderen Tiel, den ich gut lösen konnte. Aber dieser hier... unglücklich

ALSO:
Beweise: Wenn $\begin{eqnarray*} \vec{a} , \vec{b} \end{eqnarray*}$ beliebig sind, dann sind $\begin{eqnarray*} \vec{a} , \vec{b},\vec{0} \end{eqnarray*}$ linear unabhängig.

I-wie hab ich alles durchprobiert. Auch die Tatsache, dass lineare Unabhängigkeit mit Komplanarität zu tun hat, hilft mir nicht weiter verwirrt

Ich hab selbst folgenden Quatsch ( Erstaunt2

) zusammengestellt:
$\begin{eqnarray*} 0\cdot \vec{a} + 0\cdot \vec{b} + t\cdot \vec{0} = \vec{0} \end{eqnarray*}$
Woraus ich geschlossen habe, dass t nicht 0 sein darf, damit man eine Lösung bekommt, die nicht trivial ist. a und b wären damit auch beliebig.

Aber das ist kein Beweis Tränen

26.09.2009, 16:31

Bakatan

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RE: Beweis der linearen Abhängigkeit v. a/b/0

Zitat:

Original von Soniya
ALSO:
Beweise: Wenn $\begin{eqnarray*} \vec{a} , \vec{b} \end{eqnarray*}$ beliebig sind, dann sind $\begin{eqnarray*} \vec{a} , \vec{b},\vec{0} \end{eqnarray*}$ linear unabhängig.

Sei $\begin{eqnarray*} \vec{a}=\vec{b} \end{eqnarray*}$ daraus folgt direkt, dass beide linear abhängig sind.
edit: was ich damit sagen will ist, dass ich entweder etwas grob falsch verstanden habe oder die Aufgabenstellung etwas komisch ist

26.09.2009, 16:43

Soniya

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Oh maaaaaaaaannn, das tut mir leid!!!

Ich hab mich verschrieben! Das soll "ABHÄNGIG" heißen. Nicht unabhängig. Forum Kloppe

ALSO nochmal:
Beweise: Wenn $\begin{eqnarray*} \vec{a} , \vec{b} \end{eqnarray*}$ beliebig sind, dann sind $\begin{eqnarray*} \vec{a} , \vec{b},\vec{0} \end{eqnarray*}$ linear abhängig.

Sorry, sorry, sorry! Deshalb hab ich den Tipp (danke) auch nicht verstanden......

Wie wäre der Ansatz unter dieser Voraussetzung?

26.09.2009, 17:06

Bakatan

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$\begin{eqnarray*} 0\cdot \vec{a}=\vec{0} \end{eqnarray*}$

26.09.2009, 17:15

Soniya

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Also meine "Gleichung" im ersten Beitrag ? Weil das dort auch enthalten ist...

26.09.2009, 18:33

mYthos

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Du solltest dir die beiden Definitonen der linearen Abhängigkeit und der linearen Unabhängigkeit noch einmal zu Gemüte führen. Wie funktioniert denn dies genau mit den Faktoren $\begin{eqnarray*} \lambda_i \end{eqnarray*}$ ?

Beachte: Den Nullvektor kann man mit jeder beliebigen Zahl ungleich Null multiplizieren und er bleibt dennoch immer der Nullvektor.

mY+

26.09.2009, 19:01

Bakatan

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Zitat:

Zwei Vektoren $\begin{eqnarray*} \vec{a} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec{b} \end{eqnarray*}$ heißen linear abhängig, wenn einer von ihnen Vielfaches des anderen ist. So sind $\begin{eqnarray*} \vec{a}=\binom{4}{-6} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec{b}=\binom{-6}{9} \end{eqnarray*}$ linear abhängig, denn $\begin{eqnarray*} \vec{b}=-\frac{3}{2}\vec{a} \end{eqnarray*}$ ( und $\begin{eqnarray*} \vec{a}=-\frac{2}{3}\vec{b} \end{eqnarray*}$ ).
$\begin{eqnarray*} \vec{a}\not= 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec{0} \end{eqnarray*}$ sind linear abhängig, da $\begin{eqnarray*} \vec{0}=0\cdot \vec{a} \end{eqnarray*}$ . ( Im Fall $\begin{eqnarray*} \vec{a}\not= 0 \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} \vec{a} \end{eqnarray*}$ aber kein Vielfaches von $\begin{eqnarray*} \vec{0} \end{eqnarray*}$ . ) Statt "nicht linear abhängig" sagen wir linear unabhängig.

Jetzt kenne ich aber auch die andere Formulierung:
$\begin{eqnarray*} \vec{x_1}...\vec{x_n}~\text{linear unabhängig}\Leftrightarrow\left(\sum_{k=1}^n\lambda _k\cdot \vec{x_k}=\vec{0}\Leftrightarrow\lambda _k=0~\forall k\right) \end{eqnarray*}$
D.h. der Nullvektor lässt sich aus ihnen nur mit der trivialen Lösung darstellen.

So habe ich zumindest lineare Abhängigkeit gelernt.
Ich denke aber ersteres zu verwenden führt zu einer noch kürzeren Lösung als die ganz formelle Version...

26.09.2009, 21:07

mYthos

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Soniya soll aber die lin. Abhängigkeit zeigen, wenn zu den Vektoren der Nullvektor hinzutritt! Das ist ein Einzeiler:

$\begin{eqnarray*} \lambda_1 \vec a + \lambda_2 \vec b + \lambda_3 \vec 0 = \vec 0 \end{eqnarray*}$

Man kann immer ein $\begin{eqnarray*} \lambda_3 \end{eqnarray*}$ wählen, welches ungleich Null ist, daher gilt wegen der in diesem Falle nichttrivialen Relation die lineare Abhängigkeit.

Somit sind k Vektoren, unter jenen sich der Nullvektor befindet, automatisch linear abhängig.

mY+

28.09.2009, 18:26

Soniya

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Das heißt doch, dass meine Gleichung im ersten Beitrag richtig war, oder ?
Dann hätten wir ja die ganzen Umwege nicht gehen müssen... verwirrt

Ich schrieb:
$\begin{eqnarray*} 0\cdot \vec{a} + 0\cdot \vec{b} + t\cdot \vec{0} = \vec{0} \end{eqnarray*}$

Woraus ich geschlossen habe, dass t nicht 0 sein darf, damit man eine Lösung bekommt, die nicht trivial ist. a und b wären damit auch beliebig.

28.09.2009, 20:22

mYthos

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Die Vektoren a, b können bzw. sollen durchaus lin. unabhängig sein. Wenn der Nullvektor hinzukommt, spielt das keine Rolle mehr, denn die drei sind dann automatisch lin. abhängig. Das t kann auch Null sein, aber von Bedeutung ist, dass es eben auch NICHT Null sein kann, was hier an der Richtigkeit der Gleichung nichts ändert.
Conclusio: Weil es NEBEN der trivialen Relation auch noch eine NICHTTRIVIALE Relation gibt, sind die drei Vektoren lin. abhängig.

mY+

29.09.2009, 21:04

Soniya

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Alles klar Freude

Ich danke dir/Ihnen herzlich für die Hilfe und auch Bakatan!

Vielen Dank Wink

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