finde Bijektion zwischen Quadrat und Intervall

26.09.2009, 20:22

Sonnenschein1

finde Bijektion zwischen Quadrat und Intervall

Hallo,
ich möchte eine Bijektion zwischen dem Intervall [0;1[ und dem Quadrat [0;1[ x [0;1[ finden.

Dies besagt ja eigentlich, dass die Mengen $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \mathbb R ^2 \end{eqnarray*}$ gleichmächtig sind, oder?

Denn es gilt ja Alef 1= $\begin{eqnarray*} card(\mathbb R) =card(\mathbb R^2)=card(\mathbb R^n) \end{eqnarray*}$

Aber wie kann ich zeigen, dass gilt:

$\begin{eqnarray*} [0;1[ x [0;1[ \sim [0;1[ \end{eqnarray*}$ (also das x soll ein Kreuz sein..., das habe ich nicht besser hinbekommen)

Mir ist auch anschaulich nicht ganz klar, wie ich eine Bijektion zwischen einem Quadrat und einem Intervall finden soll...

Hat mir da jemand einen Tipp?

Gruß,
Sonnenschein1

27.09.2009, 01:46

Romaxx

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Cantor-Bernstein hilft hier:

$\begin{eqnarray*} A\sim B\Leftrightarrow \exists A_1\subseteq A~\exists B_1\subseteq B:~ ( A_1\sim B)\wedge (B_1\sim A) \end{eqnarray*}$

27.09.2009, 08:57

Huggy

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RE: finde Bijektion zwischen Quadrat und Intervall
Eine explizite Bijektion kann so hergestellt werden: Mache die Dezimalbruchentwicklung der reellen Zahlen durch z. B. Ausschluss von lauter Neunen ab einer Stelle eindeutig. Seien X und Y die Koordinaten eines Punktes im Quadrat und Z ein Punkt im Intervall mit den Dezimalbruchentwicklungen

$\begin{eqnarray*} X = x_0x_1x_2 ... \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} Y = y_0y_1y_2 ... \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} Z = z_0z_1z_2 ... \end{eqnarray*}$

Dabei sollen $\begin{eqnarray*} x_i, y_j, z_k \end{eqnarray*}$ aber nicht die einzelnen Ziffern sein, sondern Ziffernblöcke, die bis zur nächsten von 9 verschiedenen Ziffer gehen.

Beispiel X=0,2 98 3 995 0 6 99994 ...
Da Periode 9 ausgeschlossen wurde, gibt es immer solche endliche Blöcke.

Dann ergibt

$\begin{eqnarray*} x_n \rightarrow z_{2n} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y_n \rightarrow z_{2n+1} \end{eqnarray*}$

eine Bijektion, wie man sich leicht klarmacht.

27.09.2009, 09:45

Sonnenschein1

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Vielen Dank für eure Antworten.

Huggy, deine Bijektion hat mir schon sehr geholfen. Ich habe aber noch ein paar Frage dazu.

Erst einmal eine kurze Frage zur Dezimalbruchentwicklung. Ich habe das gerade mal nachgelesen und so verstanden, dass die die Dezimalbruchentwicklung bedeutet, dass man einen Bruch als Dezimalzahl schreibt. Stimmt das?

Dann hätte ich hier, weil ich mich im Intervall [0;1[ befinde überall eine 0 vor dem Komma.

Also ganz streng

$\begin{eqnarray*} X = 0, x_0x_1x_2 ... \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} Y = 0, y_0y_1y_2 ... \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} Z = 0, z_0z_1z_2 ... \end{eqnarray*}$

oder?

Nun bildest du mit deiner Bijektion jeden Punkt in der Ebene auf zwei Punkte im Intervall ab.

Zitat:

Dann ergibt

$\begin{eqnarray*} x_n \rightarrow z_{2n} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y_n \rightarrow z_{2n+1} \end{eqnarray*}$

eine Bijektion, wie man sich leicht klarmacht.

Aber komme ich dabei nicht über das Intervall [0,1[ raus? bzw woran erkenne ich, dass ich nicht aus dem gegebenen Intervall rauskomme?

Und könnte ich auch z.B. diese Bijektion wählen?
$\begin{eqnarray*} x_n \rightarrow z_{3n} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y_n \rightarrow z_{3n+1,5} \end{eqnarray*}$

Du bildest hier ja den x-Wert und den y-Wert eines Punktes einzeln auf jeweils einen neuen Punkt auf dem Intervall ab. Bekomme ich dann aus einem Punkt in der Ebene 2 Punkte im Intervall?

Und es werden ja mehrere Punkte aus der Ebene (z.B. alle mit dem X-Wert 0,5) auf den gleichen Punkt in dem Intervall abgebildet. Bleibt es also deshalb eine Bijektion, weil der y-Wert (z.B. aller x-Werte mit dem Wert 0,5 ) jeweils unterschiedlich ist?

Also ich habe verstanden, dass die Länge einer Strecke nicht mit ihrer Mächigkeit gleichzusetzen ist. Deshalb kann man auf dem Intervall unendlich viele Punkte finden. Ebenso wie in der Ebene. Sie liegen dann anschaulich eben nur enger. Und deshalb gibt es auch eine Bijektion.

27.09.2009, 11:02

Huggy

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Beachte zunächst das Edit meines vorigen Beitrags. Ich hatte ein wichtiges Detail vergessen.

Beachte auch, dass für den Beweis, dass es eine Bijektion gibt, die explizite Angabe einer Bijektion nicht erforderlich ist. Siehe Romaxx

Ich mache jetzt mal ein Beispiel, wie die von mir vorgeschlagene Bijektion funktioniert. Vielleicht beantwortet das deine Fragen.

X = 0,2 98 3 995 0 6 99994 ...
Y = 0,91 3 5 6 994 0 90 ...

Es ist also

x0 = 2, x1 = 98, x2 = 3, x3 = 995, x4 = 0, ...
y0 = 91, y1 = 3, y2 =5, y3 = 6, y4 = 994, ...

Für Z ergibt sich

Z = 0,2 91 98 3 3 5 995 6 0 994

mit

$\begin{eqnarray*} z_0=x_0, \quad z_1=y_0, \quad z_2=x_1, \quad z_3=y_1 \end{eqnarray*}$ usw.

Es sollte jetzt klar sein, dass

- jeder Punkt aus dem Quadrat auf genau einen Punkt des Intervalls abgebildet wird.
- die Abbildung keine Punkte außerhalb des Intervalls erzeugen kann.

27.09.2009, 11:21

Sonnenschein1

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Zitat:

Beachte auch, dass für den Beweis, dass es eine Bijektion gibt, die explizite Angabe einer Bijektion nicht erforderlich ist. Siehe Romaxx

Ja, das ist mir klar. Um sich die Sache anschaulich vorstellen zu können, finde ich es aber hilfreich, auch einmal eine solche Bijektion gesehen zu haben.

Das Beispiel ist super smile

Ich habe es jetzt verstanden. Vielen Dank

21.06.2013, 08:48

gasterli

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Wofür braucht man bei der Bijektion eigentlich die Ziffernblöcke? Was scheitert, wenn man einzelne Ziffern nimmt?

21.06.2013, 10:10

Huggy

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Die Darstellung reeller Zahlen durch Dezimalbrüche ist nicht eindeutig, wenn man sowohl abbrechende Dezimalbrüche (entspricht Periode 0) als auch Dezimalbrüche mit Periode 9 zulässt. Denn dann hat z. B. die reelle Zahl 1/10 die beiden unterschiedlichen Darstellungen

$\begin{eqnarray*} \frac {1}{10}=0.1\overline 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac {1}{10}=0.0\overline 9 \end{eqnarray*}$

Für eine Bijektion braucht man eine eindeutige Darstellung. Deshalb habe ich oben den Fall Periode 9 als Darstellung ausgeschlossen. Für 1/10 ist dann nur noch die erste obige Darstellung zulässig.

Nun muss man verhindern, dass durch die Bijektion unzulässige Darstellungen entstehen. Betrachtet man die reelle Zahl

$\begin{eqnarray*} Z=\frac{19}{99}=0.\overline {19} \end{eqnarray*}$

so würde diese bei ziffernweiser Zerlegung in X und Y zu

$\begin{eqnarray*} X=0.\overline 1 =\frac {1}{9} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y=0.\overline 9 =1 \end{eqnarray*}$

Man hätte dann eine unzulässige Darstellung von Y. Noch dazu läge dieses Y außerhalb des betrachteten Intervalls $\begin{eqnarray*} [0;1[ \end{eqnarray*}$ .

21.06.2013, 12:40

RavenOnJ

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Deine Argumentation verstehe ich zwar, man könnte aber von vorneherein Zahldarstellungen mit Periode d-1 im d-Zahlensystem ausschließen. Bei dir ist d=10. Dann könnte man die Bijektion schreiben als

$\begin{align*} X&= 0,x_1 x_2 x_3\cdots Y &= 0,y_1 y_2 y_3\cdots Z &= 0,z_1 z_2 z_3\cdots z_{2k-1} &= x_k z_{2k} &= y_k \end{align*}$
$\begin{eqnarray*} x_i,y_i,z_i\in\{0,1,\cdots,d-1\} \end{eqnarray*}$

Wenn in der Menge aller $\begin{eqnarray*} X, Y\in [0,1[ \end{eqnarray*}$ keine Zahldarstellungen mit Periode d-1 vorkommen, dann werden auch alle $\begin{eqnarray*} Z\in [0,1[ \end{eqnarray*}$ nicht mit Periode d-1 dargestellt. Ebenso umgekehrt. Damit ist die Bijektion gegeben.

21.06.2013, 14:23

Huggy

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Zitat:

Original von RavenOnJ
Wenn in der Menge aller $\begin{eqnarray*} X, Y\in [0,1[ \end{eqnarray*}$ keine Zahldarstellungen mit Periode d-1 vorkommen, dann werden auch alle $\begin{eqnarray*} Z\in [0,1[ \end{eqnarray*}$ nicht mit Periode d-1 dargestellt.

Soweit richtig.

Zitat:

Ebenso umgekehrt.

Das umgekehrte gilt eben nicht, wie mein Gegenbeispiel zeigt. 9 tritt in meinem Z nicht periodisch auf. Die ziffernweise Abbildung von Z auf (X, Y) liefert aber ein Y mit periodischer 9.

21.06.2013, 14:52

RavenOnJ

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Zitat:

Original von Huggy

Das umgekehrte gilt eben nicht, wie mein Gegenbeispiel zeigt. 9 tritt in meinem Z nicht periodisch auf. Die ziffernweise Abbildung von Z auf (X, Y) liefert aber ein Y mit periodischer 9.

Stimmt

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